Sé que los cuaterniones fueron inventados por primera vez para manejar la descripción de rotaciones en 3D y 4D, al igual que las rotaciones en 2D pueden describirse con números complejos. Por otro lado, los números no naturales pueden ser "deducidos" en cierto sentido.
Por ejemplo, comenzando con los números naturales (incluyendo el 0), de modo que la resta se pueda hacer para todos los números, agregamos números negativos para obtener enteros. Para que la división funcione de la misma manera (bueno, excepto dividir entre 0), introducimos números racionales. Para "llenar los restos", ingresamos números reales. Finalmente, para que cualquier polinomio tenga solución, agregamos una unidad imaginaria y obtenemos números complejos.
Sin embargo, los números complejos son algebraicamente cerrados, lo que nos lleva al hecho de que ya no podemos obtener otros números de la misma manera. Pero tal vez haya otras ramas de las matemáticas donde los cuaterniones "aparezcan de la nada" en algún momento, así como la unidad imaginaria al resolver $x^2 = -1$?