¿Es posible "obtener" cuaterniones sin postularlos específicamente?

Question

Sé que los cuaterniones fueron inventados por primera vez para manejar la descripción de rotaciones en 3D y 4D, al igual que las rotaciones en 2D pueden describirse con números complejos. Por otro lado, los números no naturales pueden ser "deducidos" en cierto sentido.

Por ejemplo, comenzando con los números naturales (incluyendo el 0), de modo que la resta se pueda hacer para todos los números, agregamos números negativos para obtener enteros. Para que la división funcione de la misma manera (bueno, excepto dividir entre 0), introducimos números racionales. Para "llenar los restos", ingresamos números reales. Finalmente, para que cualquier polinomio tenga solución, agregamos una unidad imaginaria y obtenemos números complejos.

Sin embargo, los números complejos son algebraicamente cerrados, lo que nos lleva al hecho de que ya no podemos obtener otros números de la misma manera. Pero tal vez haya otras ramas de las matemáticas donde los cuaterniones "aparezcan de la nada" en algún momento, así como la unidad imaginaria al resolver $x^2 = -1$?

Answer 1

Sea $S_2$ el conjunto de todos los enteros que pueden representarse como la suma de dos cuadrados. Entonces $S_2$ es cerrado bajo la multiplicación, debido a la identidad $$(a^2 + b^2)(\alpha^2 + \beta^2) = (a\alpha - b\beta)^2 + (a\beta + b\alpha)^2,$$ que proviene del hecho de que la norma del producto de dos números complejos es el producto de sus normas.

Sea $S_4$ el conjunto de todos los enteros que pueden representarse como la suma de cuatro cuadrados. De manera análoga, podrías esperar que exista una identidad que demuestre que $S_4$ es cerrado bajo la multiplicación. Con un poco de suerte y/o ingenio, podrías encontrar la identidad de cuatro cuadrados de Euler: $$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2) = (a\alpha - b\beta - c\gamma - d\delta)^2 + (a\beta + b\alpha + c\delta - d\gamma)^2 + (a\gamma - b\delta + c\alpha + d\beta)^2 + (a\delta + b\gamma - c\beta + d\alpha)^2.$$ Entonces podrías preguntarte si existe un sistema de números análogo a los números complejos que "explique" esta identidad, y de esta manera podrías descubrir los cuaterniones.

Por cierto, este no es un hecho aislado, ya que existen conexiones profundas entre la teoría de álgebras de cuaterniones y la teoría de formas cuadráticas.

Answer 2

Los cuaterniones, en el sentido de objetos que obedecen las relaciones del grupo de cuaterniones, surgen automáticamente en la Teoría de Lie. El grupo continuo no conmutativo más elemental es $SO(3)$, y si quieres entender las rotaciones en tres dimensiones, obviamente debes comprender las representaciones de este grupo: cómo puede actuar en objetos escalares, vectoriales y tensores más altos, por ejemplo. La forma más natural de hacer esto es estudiar el álgebra de Lie; incluso si no vas a generalizar completamente a álgebras de Lie abstractas, vas a tener que estudiar los generadores $T_{i}$, los cuales obedecen una relación de conmutación $[T_{i},T_{j}]=\epsilon_{ijk}T_{k}$.

Sin embargo, si exploras las representaciones de este álgebra de Lie, $\mathfrak{so}(3)$, descubrirás que hay un montón de representaciones de grupo que faltan, ¡como también faltan raíces a los polinomios reales! Hay una representación irreducible de dimensión finita del álgebra $\mathfrak{so}(3)$ para la dimensión $n$ para cada entero $n\geq1$. Sin embargo, el grupo $SO(3)$ solo tiene representaciones con dimensión impar. Ahora sabemos que la razón de esto es una obstrucción topológica; $SO(3)$ no es simplemente conexo. Sin embargo, incluso sin entender el problema topológico general involucrado, es fácil localizar otro grupo: la cubierta universal $SU(2)$ de $SO(3)$, que tiene el mismo álgebra de Lie $\mathfrak{su}(2)\approx\mathfrak{so}(3)$ pero que sí posee todas las representaciones, incluyendo una representación fundamental de dos dimensiones. Los generadores de esta representación de dos dimensiones (a partir de la cual, mediante productos tensoriales, se pueden construir todas las representaciones) tienen exactamente la tabla de multiplicación de los cuaterniones $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, y $\mathbf{k}$.

Por supuesto, la conexión entre el álgebra de cuaterniones y la teoría de grupos continuos va mucho más allá. Sin embargo, este es el primer lugar donde es probable que sea evidente que la introducción de objetos que obedecen las relaciones definitorias de los cuaterniones es necesaria.

Answer 3

El álgebra de grupo sobre $\mathbb{R}$ de todo grupo finito es una suma directa de álgebras simples. Si decides calcular esta descomposición para algunos grupos pequeños, descubrirás que para el grupo cuaternión de 8 elementos $Q_8$, obtienes una suma directa de cuatro copias de $\mathbb{R}$ y una copia del álgebra de cuaterniones. (Sobre $\mathbb{C}$, obtienes cuatro copias de $\mathbb{C}$ y una del álgebra de matrices $2\times 2$ $M_2(\mathbb{C})$).

Answer 4

Se pueden deducir a través del truco del cinturón de Dirac, ver Understanding Quaternions and the Dirac Belt Trick de Mark Staley. Este truco también es conocido como Truco de la Placa.

Answer 5

Dado un espacio vectorial normado, con los operadores básicos de suma, multiplicación escalar y norma al cuadrado, puedes generalizar a un álgebra tomando el álgebra libre sobre los vectores módulo $\mathbf u+\mathbf v=\mathbf w$, $a\mathbf v=\mathbf w$, y $a = \mathbf v^2$ para todas aquellas identidades que se cumplen en el sentido usual. El resultado se llama el álgebra de Clifford del espacio vectorial.

Dentro del álgebra hay una subálgebra llamada el álgebra par, que está generada por los productos de números pares de vectores.

El álgebra de Clifford par de $\mathbb R^3$ es isomorfa a los cuaterniones. Si tomas cada vector no nulo en $\mathbb R^3$ para representar una reflexión en el plano normal a sí mismo, entonces el producto de un número par de ellos es igual a un cuaternión que representa esa rotación de manera usual.

* Hay un poco de molestia con el vector cero, que es igual al escalar cero en el álgebra de Clifford. No estoy seguro de cómo manejar eso apropiadamente, pero quizás lo único necesario sea agregar la identidad $0=\mathbf 0$.