La alternancia de grupo $A_n$ donde $n\geq 5$

Question

He probado tanto para demostrar el hecho siguiente acerca de la alternancia de los grupos de $A_n$, $n\geq 5$ pero no podía demostrarlo. Cualquier respuesta o sugerencia será apreciar;

Cualquier subgrupo maximal de los grupos mencionados tiene un tamaño mayor que n.

Muchas gracias!

Answer 1

Considere la posibilidad de un subgrupo maximal $H$$\mathrm{Alt}(\{1,\dots,n\})$. Las órbitas $X_1,\dots,X_k$ $H$ forma una partición de $\{1,\dots,n\}$. Si sólo hay una órbita ($H$ es transitiva), a continuación,$|H|\geq |X_1|=n$. De lo contrario, $H$ está contenido en $H'=\mathrm{Alt}(\{1,\dots,n\})\cap(\mathrm{Sym}(X_1)\times\mathrm{Sym}(X_2\cup\dots\cup X_k))$, y por maximality de $H$ tenemos $H=H'$. Por lo $|H|=|H'|=|X_1|! (n-|X_1|)!/2$, que es, al menos,$n$$n\geq 5$.