La pregunta es la siguiente:
Cada mañana, un pasante debe llamar a $10$ personas y pedirles que participen en una encuesta. Cada persona llamada tiene una probabilidad de $1/4$ de aceptar hacer la encuesta, independientemente de las decisiones de otras personas. El ochenta por ciento de los días, el pasante hace lo que se supone que debe hacer; sin embargo, el otro veinte por ciento del tiempo, el pasante es perezoso y solo llama a $6$ personas. Un día, exactamente $1$ persona acepta hacer la encuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el pasante fuera perezoso ese día?
Mi solución se muestra parcialmente utilizando la regla de Bayes con la distribución binomial. Deje que $L$ sea el evento de que sea perezoso y que $O$ sea el evento de que una persona acepte hacer la encuesta. Entonces, $$\mathbb{P}(L\mid O)=\frac{\mathbb{P}(O\mid L)\mathbb{P}(L)}{\mathbb{P}(O\mid L)\mathbb{P}(L)+ \mathbb{P}(O\mid L^{C})\mathbb{P}(L^{C})}.$$ Sabemos que
$$\mathbb{P}(O\mid L)=\frac{\mathbb{P}(O \cap L )}{\mathbb{P}(L)}= \frac{\binom{6}{1}\left ( \frac{1}{4} \right )\left ( \frac{3}{4} \right )^5}{\frac{1}{5}} \approx 1.7798$$ y $$\mathbb{P}(O\mid L^C)=\frac{\mathbb{P}(O \cap L^C )}{\mathbb{P}(L^C)} = \frac{\binom{10}{1}\left ( \frac{1}4{} \right )\left ( \frac{3}{4} \right )^9}{\frac{4}{5}} \approx .2346.$$ Lo introduciría en la ecuación de la regla de Bayes, pero obtuve una probabilidad superior a $1$ en uno de los casos. ¿Por qué?
¡Gracias de antemano!
