No sé ni por dónde empezar en este ejercicio. Sea $ E $ una extensión de campo de $ F $. Un elemento $ \ alpha \in E $ es algebraico si $ F [\alpha] = \{ f (\alpha): f (x) \in F [x] \} $ es un campo. ¿Alguien puede dar algunos consejos sobre cómo probarlo? Me parece un tanto contraintuitivo.
editar: He publicado una respuesta al ejercicio. Si alguien quiere comentar para ver si suena correcto, estaría muy contento.
¿Qué tal esto como respuesta? Supongamos que $F[\alpha]$ es un cuerpo. Entonces, $\alpha^{-1} \in F[\alpha]$, por lo que hay un polinomio $g(x) \in F[x]$ tal que $g(\alpha) = \alpha^{-1}$. Entonces tenemos que $\alpha g(\alpha) = 1$, lo cual implica que $\alpha$ satisface $xg(x) - 1 \in F[x]$. Así que tenemos que $\alpha$ es algebraico sobre $F$.
Recíprocamente, sea $p(x) \in F[x]$ el polinomio mínimo (es decir, el polinomio mónico irreducible único) tal que $p(\alpha) = 0$ y consideremos el mapa de evaluación $\phi: F[x] \to E$ definido por $\phi(f(x)) = f(\alpha)$. Entonces tenemos que $\ker\phi = \{f(x) \in F[x]: f(\alpha) = 0\} = \langle p(x) \rangle$. Debido a que $p(x)$ es irreducible, $F[x]/\langle p(x) \rangle$ es un cuerpo y, por el teorema de isomorfismo, es isomorfo a $\phi(F[x]) = \{f(\alpha): f(x) \in F[x]\}$, lo que implica que este último es un cuerpo.
¿Suena lógico?
El teorema que deseas utilizar es el Lema de Bézout:
Si $f, g \in F[x]$ son coprimos entonces existen $\lambda, \mu \in F[x]$ tales que $$\lambda f + \mu g = 1. $$
En general, este es el teorema que deberías buscar para encontrar inversos módulo algo. Por ejemplo, si $f(\alpha) = 0$ entonces esto da
$$ \mu(\alpha) g(\alpha) = 1. $$
O si en cambio miras $F[x]/(f)$ entonces obtienes
$$ \mu g \equiv 1 \pmod f $$
(Estas son ideas relacionadas.)
La otra dirección, Eclipse Sun ya ha dado una pista.
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