¿Existe una secuencia tal que $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(a_{n+1}-a_{n})+1}{a_{n}}=0$?

Question

Pregunta:

¿Existe una sucesión positiva $\{a_{n}\}$ tal que $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n(a_{n+1}-a_{n})+1}{a_{n}}=0?$$

Si existe, ¿puedes dar un ejemplo? si no, ¿por qué no?

Mi intento: consideremos la siguiente sucesión $$a_{n}=\dfrac{1}{n}$$ entonces el $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n(a_{n+1}-a_{n})+1}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{n}{n(n+1)}+1}{\dfrac{1}{n}}\to+\infty$$ Pero ¿no puedo tomar un ejemplo bajo esta condición? Gracias

Answer 1

Es mejor reescribir su expresión como: $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n \Delta a_{n}+1}{a_{n}}$$ donde $\Delta$ es el operador de diferencia . El operador de diferencia es el análogo discreto de la diferenciación continua. Si considera la versión continua de su límite: $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x f'(x) + 1 }{f(x)}$$ entonces está claro que debe mirar funciones que crecen mucho más lentamente que sus valores. La función identidad $f(x) = x$ en realidad crece demasiado rápido. La siguiente función a considerar es $f(x) = \mathit{ln}(x)$: $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x \mathit{ln}'(x) + 1 }{\mathit{ln}(x)} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{\mathit{ln}(x)} = 0$$ Todo lo anterior se aplica al caso discreto --- donde el análogo de la función logarítmica es la secuencia armónica $H_n = \sum_{k=1}^n \frac1k$.

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También hay una manera más sistemática de adivinar la función logarítmica. Supongamos que $\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$. Entonces: $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x f'(x) + 1 }{f(x)} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{x f'(x)}{f(x)}$$ La función $\frac{f'(x)}{f(x)}$ se puede reescribir como $\mathit{ln}(f(x))'$. Por lo tanto, nuestra tarea es encontrar una función $f$ tal que: $$\lim_{x\to\infty}x\mathit{ln}(f(x))' = \lim_{x\to\infty}\dfrac{\mathit{ln}(f(x))'}{\mathit{ln}(x)'} = 0$$ Ahora, la heurística es la siguiente: bajo algunas condiciones razonables, si el límite anterior existe, entonces existe el límite: $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\mathit{ln}(f(x))}{\mathit{ln}(x)} = 0$$ y también es igual al mismo valor. Sustituyendo $e^y$ por $x$ se obtiene: $$\lim_{y\to\infty}\dfrac{\mathit{ln}(f(e^y))}{y} = 0$$ y la elección $f(x) = \mathit{ln}(x)$ parece la más natural (¡por supuesto, todavía es necesario comprobar que la función logarítmica realmente funciona!).

Answer 2

Si tomamos $a_n=H_n$ como el n-ésimo número armónico, entonces $$\begin{align} \frac{n(H_{n+1}-H_n)+1}{H_n} &=\frac{\frac{n}{n+1}+1}{H_n}\\ &\le\frac2{H_n}\tag{1} \end{align}$$ y como la Serie Armónica diverge, el lado derecho de $(1)$ tiende a $0$.

Answer 3

Si eliges una secuencia constante $a_n = C$, tu límite es igual a $\frac1C$: $$\lim_{n\to\infty}\frac{n(a_{n+1} - a_n) + 1}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n(C-C) + 1}{C} = \frac1C$$ Así que si eliges una secuencia "casi" de Cauchy con límite no acotado, funcionará. Un ejemplo de esto es $$a_n = \log n$$ Produciendo $$\lim_{n\to\infty} \frac{n(\log(n+1) - \log(n)) + 1}{\log(n)} = 0$$ Lo cual puedes probar utilizando l'Hôpital, por ejemplo.

Answer 4

Tomemos $a_n=\ln(n):

$$\lim_{n\to\infty}\frac {n\cdot\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)+1}{\ln n}$$

¿Puedes seguir a partir de aquí?

EDICIÓN: la intuición detrás de tomar una función logarítmica es que necesitas una función $f$ de crecimiento lento tal que la diferencia entre los valores de $f$ para números enteros consecutivos sea pequeña, de modo que cancele el factor lineal, pero a medida que $n$ tiende a infinito, $f(n)$ también tiende a infinito.

Observa que si tomamos $a_n =\sqrt{n}$ obtendremos el límite de una constante, por lo que necesitamos una función de crecimiento más "lento".