Encuentra el trabajo $\oint Pdx+Qdy$ de $F(x,y)=(−y^2,x^2)$ en el rectángulo $x−y=0$,$x−y=1$,$x+y=1$,$x+y=2$ (dirección positiva)

Question

Encuentra el trabajo $\oint{Pdx+Qdy}$ de $F(x,y)= (-y^2,x^2)$ en el rectángulo (imagen) $x-y=0, x-y=1, x+y=1, x+y=2$ (dirección positiva)

Desde el teorema de Green: $$\oint{Pdx+Qdy}= \iint{\left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial x}\right) dxdy}$$ donde, $P=-y^2 , Q=x^2 $

Normal a $x$:

$$ \int_{0}^{0.5}{} \int_{1+y}^{1-y}{(2x+2y)dxdy+\int_{0.5}^{1}{} }\int_{y}^{2-y}{(2x+2y)dxdy} $$

Mi pregunta es: ¿Debo sumar o restar la segunda integral (debido a las direcciones de $a$ y $w$ (mostradas en la imagen de arriba))?

Answer 1

Observe, divida la región delimitada por las líneas $x-y=0, x-y=1, x+y=1$ y $x+y=2$ en dos partes y considere dos losas rectangulares horizontales en estas partes y aplique límites adecuados de $x$ & $y$ (como se muestra en la figura anterior). Agregue estas dos integrales dobles de la siguiente manera

La primera integral debe tener límites adecuados de $x$ desde $x=1-y$ hasta $x=1+y$ y $y$ desde $y=0$ hasta $y=0.5$ como sigue $$ \int_{0}^{0.5}{} \int_{\color{blue}{1-y}}^{\color{blue}{1+y}}{(2x+2y)dxdy+\int_{0.5}^{1}{} }\int_{y}^{2-y}{(2x+2y)dxdy} $$

$$=\color{blue}{-}\int_{0}^{0.5}{} \int_{\color{blue}{1+y}}^{\color{blue}{1-y}}{(2x+2y)dxdy+\int_{0.5}^{1}{} }\int_{y}^{2-y}{(2x+2y)dxdy} $$ $$=\color{red}{\frac32}$$