Probar que existe un número irracional entre cualquier número real

Question

Posibles Duplicados:
Densidad de irrationals

Estoy tratando de probar que existe un número irracional entre dos números reales a y b. Ya sé que un número racional entre los dos existe. Mi idea era decir que representan a y b como $a = \sqrt{2} x, b = \sqrt{2} y$ algunos $x, y \in \mathbb{R}.$ sabemos que existe $\frac{m}{n}$ s.t. $x < \frac{m}{n} < y,$ , por lo que multiplicando todo por la raíz de 2, tenemos $$\sqrt{2}x = a < \frac{\sqrt{2}m}{n} < \sqrt{2}y = b,$$, y por tanto tenemos un número irracional entre dos reales. Es que este 'de fiar?' Hay 'mejor'más elegantes maneras de ir sobre esto? Realmente me gusta ver las posibles alternativas hay pruebas de ello, como muchos como sea posible.

Answer 1

Si usted sabe que entre cualesquiera dos números reales no es racional, entonces ¿por qué no cambio todo? Si $a < b$, entonces se sigue que $\sqrt{2} + a < \sqrt{2} + b$, y por tanto no es un número racional $r$$\sqrt{2} + a < r < \sqrt{2} + b$. Pero entonces se sigue que $a < r - \sqrt{2} < b$. ¿Qué tipo de número es $r - \sqrt{2}$?

Esto está muy cerca de la solución que usted propone, pero mira lo que sucede en su caso al $\frac{m}{n} = 0$.

Answer 2

Aquí está una prueba:

Deje $a,b\in \mathbb{R}~,a\lt b$. A continuación, $(a,b)$ es incontable. El conjunto de los números racionales, $\mathbb{Q}$ es contable, por lo que cualquier subconjunto de la misma también es contable.
Ahora supongamos $(a,b)$ contenía ningún número irracional. A continuación, $(a,b)$ sería un incontable subconjunto de $\mathbb{Q}$ lo cual es una contradicción.

Answer 3

SUGERENCIA $\ $ Si el no-vacío intervalo I que contiene sólo racionales, entonces repetidamente cambio yo a la izquierda/a la derecha por un fijo positivos racionales menos menor que la longitud de voy a cubrir la totalidad de la línea real con racionales. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que cada real es racional, una contradicción.

Answer 4

El intervalo de $(a,b)$ es incontable desde $f(x) = \frac{(x-a)}{(b-a)}$ es un bijection de$(a,b)$$(0,1)$.

Hay un número irracional en $(a,b)$ desde los racionales ellos mismos son contables.