¿Existe un límite superior en el determinante de la suma de matrices definidas positivas (o semidefinidas)?

Question

La desigualdad de Minkowski, $$ (\det (A+B) )^{1/n} \geq (\det(A))^{1/n} + (\det(B))^{1/n},$$ implica $$ \det (A + B) \geq \det (A) + \det (B)$$ donde $A$ y $B$ son matrices hermitianas de $n \times n$.

Si las matrices $A$ y $B$ son definidas positivas (o semidefinidas positivas), ¿existe algún límite superior en el determinante de la suma de matrices $A$ y $B$ (posiblemente en términos de $A$ y $\det(B)$ o en términos de $\det(A)$ y $B$)?

Aunque no es posible en general (como se señala en los comentarios), ¿qué pasa si tenemos alguna restricción en las matrices o en el determinante (incluso si la restricción es en las entradas de las matrices)? ¿Hay algún caso/restricción que podamos agregar para calcular un límite superior como función de det(A) y B o det(B) y A?

Answer 1

Como señaló @user1551, no existe un límite superior en función de $A$ y $\det B$, o $B$ y $\det A$. En otras palabras, saber $B$ y $\det A$ (o saber $A$ y $\det B$) no es suficiente para que $\det (A + B)$ esté acotado. Necesitamos más información sobre $A$ o/y $B$.

Sean $A$ y $B$ ambas matrices hermíticas definidas positivas de $n\times n$. Tenemos los siguientes límites superiores: $$\det (A + B) \le \det A \det \left(I + \frac{1}{\lambda_{\min}(A)}B\right) \tag{1}$$ y $$\det (A + B)\le \left(\frac{1}{\lambda_{\min}(A)} + \frac{1}{\lambda_{\min}(B)}\right)^n\det A \det B \tag{2}$$ donde $\lambda_{\min}(A)$ es el menor valor propio de $A$. De hecho, primero, tenemos \begin{align} \det (A + B) &= \det A \det (I + A^{-1}B)\\ & = \det A \det (I + B^{1/2} A^{-1}B^{1/2}) \\ &\le \det A \det \left(I + B^{1/2} \frac{1}{\lambda_{\min}(A)}I B^{1/2}\right)\\ & = \det A \det \left(I + \frac{1}{\lambda_{\min}(A)}B\right) \end{align} donde hemos usado $A^{-1} \le \frac{1}{\lambda_{\min}(A)}I$ (de $A\ge \lambda_{\min}(A) I$) y $\det X \ge \det Y$ si $X, Y, X-Y$ son todas semidefinidas positivas. Segundo, tenemos $\det (A + B) = \det A \det (I + A^{-1}B) = \det A \det B \det (B^{-1} + A^{-1})$ y obtenemos (2) de manera similar.

Answer 2

Los ejemplos en los comentarios muestran que no es posible establecer un límite en términos solo de $\det(A)$ y $\det(B)$. Sin embargo, es posible establecer un límite basado en los valores propios de $A$ y $B$. Esto puede o no responder a tu pregunta (no responde a la pregunta en negrita), pero puede resultar interesante (o puede que ya lo sepas).

Sea $\lambda^\uparrow(M)$ y $\lambda^\downarrow(M)$ los vectores de los valores propios de $M$ listados en orden ascendente y descendente respectivamente. Tenemos la conocida relación de mayorización :

$$ \lambda^\downarrow(A)+\lambda^\uparrow(B)\prec \lambda^\downarrow(A+B). $$

Sabemos que el mapa $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_1\cdots x_n$ es un polinomio simétrico elemental y por lo tanto Schur cóncavo. Por lo tanto,

$$ \det (A+B)=\prod_{j=1}^n \lambda_j^\downarrow(A+B)\le \prod_{j=1}^n (\lambda_j^\downarrow (A)+\lambda_j^\uparrow(B)). $$

El límite es ajustado para el ejemplo de user1551 de los comentarios $A = \operatorname{diag}(a,a^{-1})$ and $B = I$.