Para un entero positivo $n$, una palabra de $n$ es una cadena de $n$ letras, donde cada letra es una $A$ o $B$. Sea $p_n$ el número de palabras de $n$ que no contienen cuatro $A$ consecutivas y no contienen tres $B$ consecutivas. Encuentra el valor de $$\frac{p_{2013}-p_{2011}-p_{2008}}{p_{2010}+p_{2009}}.$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sea $A_1(n), A_2(n), A_3(n), B_1(n), B_2(n)$ el número de palabras con cabeza $(AB, AAB, AAAB, BA, BBA)$, respectivamente. Entonces $P(n)=A_1(n)+A_2(n)+A_3(n)+B_1(n)+B_2(n)$, con $$ A_3(n)=A_2(n-1),\quad A_2(n)=A_1(n-1),\quad A_1(n)=B_1(n-1)+B_2(n-1), $$ y $$ B_2(n)=B_1(n-1),\quad B_1(n)=A_1(n-1)+A_2(n-1)+A_3(n-1). $$ Sea $A(n)=A_1(n)+A_2(n)+A_3(n), B(n)=B_1(n)+B_2(n)$. Así que $A_3(n)=B(n-3)$, $A_2(n)=B(n-2)$, $B_2(n)=A(n-2)$, luego $$A(n)=B(n-1)+B(n-2)+B(n-3), \quad B(n)=A(n-1)+A(n-2),$$ por lo tanto $$ A(n)=A(n-2)+A(n-3)+A(n-3)+A(n-4)+A(n-4)+A(n-5), $$ y $$ B(n)=B(n-2)+B(n-3)+B(n-4)+B(n-3)+B(n-4)+B(n-5) $$ Se sigue que $$ P(n)=P(n-2)+2P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5), $$ obteniendo la respuesta es $2$.
