Calcular el número de ruedas de colores distinguibles que tienen 12 compartimentos que se pueden formar con $q$ colores.

Question

Calcula el número de ruedas de colores distinguibles con 12 compartimentos que se pueden formar con $q$ colores. (Supón que solo se puede usar un color en un solo compartimento y que se puede usar el mismo color en diferentes compartimentos)

Mi intento:

Sea X la colección de todas las ruedas coloreadas posibles, entonces $|X|=q^{12}$

Lo que entendí de la pregunta es que tenemos una acción de $\Bbb Z_{12}$ en $X$ (que envía el compartimento $i$-ésimo al compartimento $(i+j)$-ésimo $\forall 0 \le i \le 11$, $\forall j \in \Bbb Z_{12}$).

Entonces, usando el lema de Burnside, obtuve el resultado como $$\frac{q^{12}+4q+2q^2+2q^3+2q^4+q^6}{12}$$

¿Es mi respuesta correcta? Por favor señala errores si los hay.

¡Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Si los compartimentos están todos en un solo lado, entonces tu respuesta es correcta.

Si la rueda tiene dos lados para que los compartimentos también aparezcan en el otro lado y podamos girar la rueda, las modificaciones no son tan complicadas. Además, tenemos seis reflexiones cuyas líneas de reflexión cruzan dos compartimentos, arreglando $q^8$ ruedas cada una, y seis reflexiones que no cruzan ningún compartimento, arreglando $q^6$ elementos cada una, dando el número de coloraciones como $$\frac{q^{12}+4q+2q^2+2q^3+2q^4+7q^6+6q^8}{24}$$