Mostrando la desigualdad del triángulo en esta métrica.

Question

Estoy luchando por demostrar que la siguiente función en $\mathbb{Z}$ es una métrica: específicamente, mostrando la desigualdad del triángulo.

Fija un número primo impar $p,$ y define $d:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$d(m,n)=0 {\text{ si }} m-n=0,$$ o como $$d(m,n)=\frac{1}{r+1} {\text{ si }} p^r {\text{ es la mayor potencia de }} p {\text{ que divide }} m-n.$$ En mi intento de mostrar $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z),$ tomé distintos $x,y,z\in\mathbb{Z}$ y supuse que $p^t$ era la mayor potencia de $p$ que dividía a $x-z,$ entonces $d(x,z)=\frac{1}{t+1}.$ Intenté escribir $$p^t\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm}x-z\implies p^t\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm}(x-y)+(y-z),$$ pero esto no implica necesariamente que $p^t\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm}x-y$ y $p^t\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm}y-z.$

Entiendo que al escribir $x-z=(x-y)+(y-z)$ hace que las dos diferencias individuales sean menores y por lo tanto una potencia más pequeña de $p$ puede dividirlas, resultando en que su distancia $\frac{1}{r+1}$ sea mayor, pero tengo problemas para hacerlo explícito.

¿Estoy pensando en esto de la manera incorrecta? Cualquier orientación es apreciada.

Gracias.

Answer 1

Creo que estás pensando en ello de manera incorrecta. No se trata del tamaño de la diferencia $n - m$, se trata del mayor exponente de $p$ que la divide. Tienes razón al considerar la descomposición $$ x - z = (x - y) + (y - z).$$ La observación clave es que si $p^r$ divide tanto a $x - y$ como a $y - z$, entonces $p^r$ divide a $x - z$. En particular, toma $p^r$ como el mayor exponente de $p$ tal que $p^r$ divide tanto a $x - y$ como a $y - z$. ¿Puedes mostrar que $$ d(x, z) \leq \frac{1}{r + 1} \leq d(x, y) + d(y, z) ? $$