Si $V\subset L^\infty[0,1]$ con $\|f\|_\infty \leq c\|f\|_2$, entonces $V$ es de dimensión finita

Question

Si $V$ es un subespacio lineal de $L^\infty[0,1]$ con $\|f\|_\infty \leq c\|f\|_2$ para todo $f\in V$, entonces $V$ es de dimensión finita. La prueba es un cálculo explícito:

Dado que $L^\infty[0,1] \subset L^2[0,1]$, tomamos $e_1,\cdots , e_n$ como vectores $L^2$-ortonormales en $V$. Fijemos algún $x$ en $[0,1]$. Para todo $y\in[0,1]$, tenemos $$\left|\sum e_i(x)e_i(y)\right| \leq \left\|\sum e_i(x) e_i(\cdot) \right\|_\infty \leq c\left\|\sum e_i(x)e_i(\cdot)\right\|_2 = c \sqrt{ \sum e_i^2(x)},$$ tomamos $y = x$, lo que implica $$\sum e_i^2(x) \leq c^2.$$ Integramos ambos lados y obtenemos $$ n=\int_0^1 \sum e_i^2(x) \leq c^2.$$ Esta prueba es simple pero no es realmente intuitiva para mí. ¿Podrían ayudarme con un argumento más de análisis funcional?

Dado que para funciones en $L^\infty[0,1]$ siempre tenemos $\|f\|_2 \leq \|f\|_\infty$ , junto con $\|f\|_\infty \leq c \|f\|_2$, esto significa que el mapeo identidad es una biyección continua entre $(V, \|\cdot \|_2)$ y $(V, \|\cdot \|_\infty)$. Además, $\|\cdot\|_2$ y $\|\cdot\|_\infty$ son equivalentes en $V$. Sé que cualquier par de normas son equivalentes en un espacio de dimensión finita, pero no sé si hay algo especial acerca de las normas $L^2$ y $L^\infty$ que haga que la afirmación contraria también sea verdadera.

Answer 1

La siguiente prueba funcional-analítica es una aplicación del lema de Riesz: un espacio normado es finito-dimensional si y solo si su bola unitaria es compacta, o equivalentemente, si el operador identidad es compacto.

La siguiente declaración es lo que queremos probar.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial de funciones acotadas en $[0, 1]$ tal que existe $c>0$ satisfaciendo $\lVert f\rVert_{\infty}\le c\lVert f\rVert_2$ para todo $f\in V$. Entonces $V$ es finito-dimensional.

Observación. Observa cómo evitamos mencionar $L^\infty([0, 1])$. La razón es que $V$ es un espacio de funciones, mientras que $L^\infty$ típicamente se define como un espacio de clases de equivalencia de funciones, hasta la equivalencia casi en todas partes.

Prueba. Para $x\in [0, 1]$ y $f\in V$ define el funcional de evaluación $\mathrm{ev}_x(f):=f(x).$ (Nota: esto no estaría bien definido en $L^\infty([0, 1])$, como se menciona en la observación). La suposición implica que este es un funcional lineal acotado en la topología $L^2$. Así que el teorema de representación de Riesz garantiza la existencia de $K_x\in L^2([0, 1])$ tal que $$ \mathrm{ev}_x(f)=\langle K_x | f \rangle_{L^2([0,1])}=\int_0^1 K(x, y) f(y)\, dy, $$ donde hemos dejado $K(x, \cdot):=K_x$.

Por la suposición, $$ \lvert \langle K_x | f \rangle_{L^2([0,1])} \rvert \le c \lVert f\rVert_{L^2([0,1])}$$ para cualquier $f$. Al dejar $f=K_x$ vemos que $\lVert K_x\rVert_2\le c$. La constante del lado derecho es independiente de $x$, así que al integrar obtenemos $\int_{[0, 1]^2} K(x, y)^2\, dxdy\le c^2$ y concluimos que, en particular, $K\in L^2([0, 1]^2)$.

Ahora considera $T_K(g):=\int_0^1 K(\cdot, y)g(y)\, dy$, visto como un operador lineal de $L^2([0, 1])$ en sí mismo. Una consecuencia de que $K\in L^2([0, 1]^2)$ es que este operador es compacto. Inferimos que el operador identidad en $V$ es compacto en la topología $L^2$. Por el lema de Riesz concluimos que $V$ es finito-dimensional. $\Box$

Observaciones finales.

1. La prueba de Grothendieck, dada en la pregunta principal, es superior a esta por dos razones. Primero, es más elemental, y segundo, da una cota explícita de la dimensión de $V$ en términos de $c$.
2. La función $K$ se conoce como un núcleo reproductor. A posteriori, dado una base $e_1, \ldots, e_n$ de $V$ que es $L^2$-ortonormal, tenemos que $K(x, y)=\sum_j e_j(x)e_j(y)$. La función del lado derecho es exactamente la que aparece en la prueba de Grothendieck.