Pregunta de tarjeta de probabilidad. (sin reemplazo.)

Question

Supongamos que de una baraja estándar, sacas tres cartas sin reemplazo. ¿Cuál es el número esperado de cartas negras que sacarás?

La respuesta a esta pregunta es 1.5, sin embargo, estoy un poco confundido porque ¿no debería ser un número entero? Sin reemplazo significa que simplemente tomas 3 cartas de la baraja al azar. ¿Cómo puede ser la respuesta 1.5?

Answer 1

Hay el mismo número de cartas rojas y negras en una baraja, por lo que la expectativa sería que la mitad de las cartas seleccionadas sean negras.

La expectativa es un promedio. En algunas pruebas obtendrás 1, en otras 2, en algunas 0 o 3. El promedio de números naturales no tiene por qué ser un entero.

Answer 2

Sea $X$ el número de cartas negras que sacarás (una variable aleatoria). $X$ puede tomar valores de 0, 1, 2 o 3.

$\mathbb{P}(X=0) = 26/52 \times 25/51 \times 24/50$ (las 3 cartas son rojas)

$\mathbb{P}(X=1) = 26/52 \times 26/51 \times 25/50 + 26/52 \times 26/51 \times 25/50 + 26/52 \times 25/51 \times 26/50$ (BRR o RBR o RRB)

Por simetría, $\mathbb{P}(X=2) = \mathbb{P}(X=1)$ y $\mathbb{P}(X=3) = \mathbb{P})(X=0)$

Ahora, usemos la definición de esperanza:

$\mathbb{E}[X] = 0 \times \mathbb{P}(X=0) + 1 \times \mathbb{P}(X=1) + 2 \times \mathbb{P}(X=2) + 3 \times \mathbb{P}(X=3)$

Puedes simplificar para obtener $\mathbb{E}(X) = 3/2$.

Podrías haber llegado a esta respuesta intuitivamente, pero a veces ayuda trabajar a través de los detalles. Además, como es un valor esperado, puede ser un valor no entero, ¡a pesar de que $X$ en sí siempre es un número entero!