Las superficies de Riemann son algebraicas

Question

A través de un divisor muy amplio se puede incrustar una superficie de Riemann holomórficamente en alguna $\mathbb{P}^n$ . Ahora, podemos proyectar la superficie de Riemann a $\mathbb{P}^3$ y podemos ir hasta $\mathbb{P}^2$ si permitimos los nodos.

Si tenemos una superficie de Riemann $X$ y una incrustación $f:X\to \mathbb{P}^2$ (donde la imagen es suave), entonces podemos encontrar la ecuación para $f(X)$ (se retiran las funciones meromórficas $x_0/x_1$ y $x_1/x_2$ a través de $f$ , donde $x_0,x_1,x_2$ son las coordenadas homogéneas de $\mathbb{P}^2$ ; estos son algebraicamente dependientes sobre $\mathbb{C}$ y por tanto deben satisfacer algún polinomio. El cierre proyectivo de los ceros de este polinomio es exactamente $f(X)$ ).

He estado leyendo el libro de Shafarevich Geometría algebraica I y en la página 86 describe cómo encontrar las ecuaciones para un mapeo a $\mathbb{P}^n$ . Simplemente afirma que si tienes un mapa de $X$ a $\mathbb{P}^n$ entonces, como podemos proyectar, podemos reducir al caso de que el mapa vaya a $\mathbb{P}^2$ y básicamente hemos terminado.

Si la superficie de Riemann está en $\mathbb{P}^3$ Por ejemplo, no veo por qué el método anterior garantiza que se defina mediante ecuaciones... Es la imagen en $\mathbb{P}^2$ posiblemente tendría nodos... ¿Alguna idea?

Quiero demostrar que una superficie compacta de Riemann en $\mathbb{P}^3$ es algebraico, es decir, puede definirse mediante ecuaciones polinómicas.

Answer 1

Una superficie de Riemann compacta $X$ siempre se puede incrustar holomórficamente en $\mathbb P^3( \mathbb C)$ . Este es un teorema muy poco trivial.

Reclamación: En general, no se puede incrustar en $\mathbb P^2( \mathbb C)$ .
El argumento más sencillo para apoyar esta afirmación es recordar que una curva compleja suave de grado $d$ en $\mathbb P^2( \mathbb C)$ tiene el género $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ .
Dado que existen superficies de Riemann de cualquier género $g\geq 0$ por un lado, y como por otro lado la mayoría de los enteros no son de la forma $\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ La reclamación está probada.

Sin embargo, cualquier superficie de Riemann puede sumergirse, aunque no necesariamente de forma inyectiva, en $\mathbb P^2( \mathbb C)$ al componer hábilmente (o hábilmente si se prefiere el inglés americano) una incrustación en $\mathbb P^3( \mathbb C)$ con una proyección sobre un plano, por lo que la curva inmersa tendrá singularidades nodales en el peor de los casos.

Bibliografía
Una excelente referencia para estas cuestiones es el libro de Miranda Curvas algebraicas y superficies de Riemann .
Si quieres ver las pruebas completas del teorema de incrustación de las superficies compactas de Riemann en $\mathbb P^3( \mathbb C)$ (lo que implica la algebraicidad de dichas superficies de Riemann), mira a Forster Conferencias sobre las superficies de Riemann (Springer) o en Narasimhan's Superficies compactas de Riemann (Birkhäuser).
(Precaución: el análisis utilizado en estos dos libros no es para los débiles de corazón).

Answer 2

Componer el mapa con proyecciones centradas en puntos. Para entenderlo, puedes leer el libro Curvas algebraicas y superficies de Riemann por Rick Miranda, páginas 98-102. Es un libro precioso. Lo entenderás perfectamente.