Recupera una secuencia geométrica desconocida de $s(n) = \frac{1-r^{\frac{n}{2}+1}}{1-r}$

Question

La ecuación estándar para la suma de una serie geométrica es $\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$
donde $sum = a + ar + ar^2 + ... + ar^n$

Dada otra función similar, $s(n)=\frac{1-r^{\frac{n}{2}+1}}{1-r}$ ¿es posible encontrar/recuperar una secuencia desconocida tal que $s(n)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$
lo que significa en lugar de hacer $s(2)$ puedo sumar manualmente los componentes como $a_{0}+a_{1}+a_{2}$ para obtener $s(2)$?

Lo que ya he intentado hacer es usar una ley de suma que establece que $a_{n}=s_{n}-s_{n-1}$ y luego reorganizarlo para averiguar qué es $a_{n}$. Sin embargo, esto no parece funcionar en la práctica porque $s(0)$ debería ser igual a $a_{0}$, lo que significa que $s(0)-s(-1)=a_{0}=s(0)$ pero esto no sucede con esa ecuación y son desiguales.

Lo que estoy pensando es que mi función $s$ podría no representar realmente la suma de una serie geométrica, ¿podría ser este el caso? ¿Cómo podría descubrirlo?

Answer 1

Se supone que $s_n$ es igual a $s_n = \sum_{i=0}^n a_n$, y esa expresión solo está definida para $n \ge 0$. El concepto de $s_{-1}$ no tiene sentido en este contexto.

Por lo tanto, no existe el valor $s_{-1}$. La fórmula $$s_n = \dfrac{1-r^{\frac{n}{2}+1}}{1-r}$$ solo es válida para $n \ge 0$. La fórmula $a_n = s_n - s_{n-1}$ solo es válida para $n\ge 1$, y para $a_0$ en cambio solo tenemos $$a_0 = s_0$$