Integral definida de un producto infinito

Question

He estado luchando durante un tiempo en evaluar esta integral de producto infinita definida:

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^0(1+\tan{x})(1+\tan^2x)(1+\tan^4x)(1+\tan^8x)(1+\tan^{16}x)...dx$$

Esta es una pregunta que mi profesor de matemáticas me dio hace un tiempo y he estado luchando con ella desde entonces. He probado tantas sustituciones diferentes e incluso he intentado integrar por partes (NO hagas esto), pero nada me ha acercado siquiera a una respuesta. ¿Supongo que hay alguna identidad trigonométrica que debo estar pasando por alto para simplificar el interior de la integral? ¿o alguna sustitución maravillosa?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Aquí hay un método corto que utiliza una sustitución trigonométrica. Sustituyendo $u = \tan \theta$, de modo que $d\theta = \frac{du}{1 + u^2}$, transforma la integral en $$\int_{-1}^0 \frac{(1 + u) (1 + u^2) (1 + u^4) \cdots}{1 + u^2} \,du .$$ Verifique que (para $u \in (-1, 0]$), $$(1 + u) (1 + u^2) (1 + u^4) \cdots = 1 + u + u^2 + u^3 + \cdots = \frac{1}{1 - u} ,$$ y realizando la sustitución se da cuenta de que la integrando se convierte explícitamente en una función racional.

La integral se convierte en $$\int_{-1}^0 \frac{du}{(1 - u) (1 + u^2)} = \boxed{\frac{1}{4} \log 2 + \frac{\pi}{8}}.$$

Answer 2

Pista: Intenta probar que para $x\in (-\pi/4,0)$, $$\prod_{n=0}^\infty (1+\tan^{2^n}x)=\frac{1}{1-\tan x}.$$ EDICIÓN: Toma $$\prod_{n=0}^N (1+\tan^{2^n}x)=(1+\tan x)(1+\tan^2x)\cdots (1+\tan^{2^N}x)=\frac{(1-\tan x)(1+\tan x)(1+\tan^2x)\cdots (1+\tan^{2^N}x)}{1-\tan x}=\frac{(1-\tan^2x)(1+\tan^2x)(1+\tan^4x)\cdots (1+\tan^{2^N}x)}{1-\tan x}=\frac{(1-\tan^4x)(1+\tan^4x)\cdots (1+\tan^{2^N}x)}{1-\tan x}=\cdots=\frac{1-\tan^{2^{N+1}}x}{1-\tan x}\to \frac{1}{1-\tan x},$$ a medida que $N\to \infty$, dado que $x\in (-\pi/4,0)$. A partir de aquí es sencillo computar la integral. La respuesta es $\frac{\ln 2}{4}+\frac{\pi}{8}.$

Answer 3

Pista

Multiplica y divide el integrando por $1 - \tan(x)$.

Answer 4

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^0(1+\tan{x})(1+\tan^2x)(1+\tan^4x)(1+\tan^8x)(1+\tan^{16}x)...dx$

$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^0\color{red}{\frac{1}{1-\tan{x}}(1-\tan{x})}(1+\tan{x})(1+\tan^2x)(1+\tan^4x)(1+\tan^8x)(1+\tan^{16}x)...dx$

(luego colapse el producto)

$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^0\frac{1}{1-\tan{x}}(1-(\tan{x})^\infty)dx$ (probablemente no debería escribir este paso, pero podría ser útil)

$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^0\frac{1}{1-\tan{x}}dx$

$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^0\frac12 \left(1+\tan{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\right)dx$

$=\dots$

$=\frac18(\pi+\log 4)$