¿Por qué es el argumento de una función hiperbólica igual al doble del área de un sector hiperbólico?

Question

La mayoría de nosotros sabemos que un círculo unitario es un círculo con radio uno y centro en el origen.

Ahora dejemos que $O$ sea el origen y $X$ sea la intercepción de $x$ del círculo

Consideremos un punto $R$ en ese círculo unitario haciendo un ángulo $t$ desde el eje positivo de $X$. Si calculamos el área del sector limitado por el ángulo $t$ (la región $OXR$), ese área sería $t/2$. Pero aquí está la imagen completa, ese área que calculamos resultó ser la mitad del ángulo que usamos para definir las funciones trigonométricas tradicionales (seno, coseno, ...).

Ahora consideremos una hipérbola unitaria (asumamos que la orientación de la hipérbola es horizontal y aquí solo consideramos la parte derecha de la hipérbola, ignoramos el lado izquierdo) centrada en el origen. Para clarificar las cosas, etiquetemos algunos puntos.

Dejemos que $O$ sea el origen, $A$ sea la intercepción de $x$ de la hipérbola, y $P$ sea algún punto en la hipérbola.

Sabemos que $PA$ es una curva. (Cuando digo PA, no me refiero a un segmento de línea sino a parte de nuestra hipérbola unitaria). Ahora imagina la región $OPA$. El área de esta región es la mitad del argumento que usamos para definir las funciones hiperbólicas (de la misma manera que usamos el área $OXR$ en el caso del círculo).

Pero espera. En el caso del círculo anterior demostramos (prueba NO mostrada AQUÍ) que el área encerrada por los dos radios y el arco del círculo es la mitad del ángulo $t$. Pero en el caso de la hipérbola no hay tal prueba.

Entonces, ¿cómo podemos usar algo que no estamos seguros en nuestro favor? ¿o simplemente estamos construyendo funciones hiperbólicas de tal manera que toman el doble del área $OPA$ como argumento y nos brindan las coordenadas deseadas? ¿o es solo para proporcionar el mismo razonamiento que el círculo unitario?

Answer 1

Básicamente estás preguntando "¿Por qué se definen los radianes hiperbólicos como el doble del área de un sector hiperbólico?"

Bueno, hay una bonita conexión conceptual con el círculo. Pero, en realidad, no tenemos elección. Considera ...

La fórmula de Euler nos dice que podemos escribir $$\cos\theta = \frac12\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right) \qquad \sin\theta = \frac1{2i}\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right) \tag{1}$$ cuando $\theta$ está dado en radianes (circulares). En este caso, no importa si los "radianes (circulares)" se definen por la longitud exacta de un arco circular correspondiente o por el doble del área del sector circular correspondiente. Esas cálculos de radianes coinciden, así que elige.

Ahora sería realmente conveniente que las funciones hiperbólicas fueran dadas análogamente por $$\cosh t = \frac12\left(e^{t}+e^{-t}\right) \qquad \sinh t = \frac1{2}\left(e^{t}-e^{t}\right) \tag{2}$$

Esto funciona precisamente cuando el valor de $t$ en radianes hiperbólicos se toma como el doble del área del sector hiperbólico correspondiente. No tenemos elección en este caso. Y es más o menos una feliz coincidencia que el homólogo circular tenga una interpretación de "doble área de sector" para su medida en radianes; esto hace que haya una unificación satisfactoria que sugiere que la definición de radianes como el doble del área de un sector es la definición natural para ambos casos.