¿Hay una demostración teórica de grupo de que $(\mathbf Z/(p))^\times$ es cíclico?

Question

Teorema: El grupo $(\mathbf Z/(p))^\times$ es cíclico para cualquier primo $p$.

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La mayoría de las demostraciones hacen uso del hecho de que para $r\geq 1$, hay a lo sumo $r$ soluciones a la ecuación $x^r=1$ en $\mathbf Z/(p)$, un resultado que no parece tener pruebas grupales.

K. Conrad da siete demostraciones diferentes — y sugiere algunas otras — en su artículo aquí. Los primeros seis hacen uso del hecho mencionado anteriormente, mientras que la séptima prueba hace un extenso uso de polinomios ciclotómicos y aún no es grupal.

También encontré una prueba basada en álgebra lineal en el segundo capítulo de Teoría Elemental de Grupos de Emilio Bujalance García, pero aún así, no se encuentra una prueba grupa.

Answer 1

El hecho en la OP ($x^r\equiv 1\pmod p$ tiene como máximo $r$ soluciones) muestra inmediatamente que $({\bf Z}/(p))^\times$ no puede tener ningún subgrupo isomorfo a $C_q\times C_q$, para cualquier primo $q$ que divida $p-1$ (de lo contrario $x^q\equiv 1\pmod p$ tendría al menos $q^2$ soluciones). Por el teorema de estructura para grupos abelianos finitos, $({\bf Z}/(p))^\times$ es cíclico. Otra forma de mostrar que no puede haber un subgrupo isomorfo a $C_q\times C_q$ es recordando que $({\bf Z}/(p))^\times\cong\operatorname{Aut}({\bf Z}/(p))$ actúa de manera regular (por automorfismos) en el conjunto de generadores de ${\bf Z}/(p)$. Pero de nuevo esto utiliza el hecho que la OP quisiera evitar. Así que, tome esta respuesta como un comentario largo, en realidad.