Weird conversion of polar coordinates into rectangular coordinates.

Question

Dado $r=\frac{4}{1-\cos(\theta)}$, convierta a coordenadas rectangulares (cartesianas).

Mi solución:

1. Elevar ambos lados al cuadrado: $r^2=\frac{16}{\sin^2(\theta)}$

2. Multiplicar el denominador por $r^2$ para obtener: $r^2\sin^2(\theta)=16$

3. Dado que $y=r\sin(\theta)$, podemos hacer $r^2\sin^2(\theta)=y^2$, por lo tanto $y^2=16$ o $y^2-16=0

Pero la respuesta en el libro no coincide con la mía, ¿me podrías explicar en qué me estoy equivocando?

Answer 1

Tu error está en el paso 1, al cuadrar ambos lados: ten en cuenta que $$(1-\cos(\theta))^2\neq 1 - \cos^2(\theta).$$ El resultado correcto al cuadrar ambos lados sería $$r^2=\frac{16}{(1-\cos(\theta))^2}=\frac{16}{1-2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)}$$