¿Por qué es $n^n (n+m)^{-{\left(n+m\over 2\right)}}(n-m)^{-{\left(n-m\over 2\right)}}$ asintóticamente igual a $\exp\left(-{m^2\over 2n}\right)$ cuando $n,m\to \infty$?
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Robert Christie
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Deje $m = n x$. Tome el logaritmo: $$ n \log(n) - n \frac{1+x}{2} \left(\log n + \log\left(1+x\right) \right) - n \frac{1-x}{2} \left( \log n + \log\left(1-x\right) \right) $$ Note que todos los términos con $\log(n)$ se cancelan, por lo que nos queda $$ -\frac{n}{2} \left( (1+x) \log(1+x) - (1-x) \log(1-x) \right) $$
Parece que necesita asumir que $x$ es pequeño aquí, lo que significa que $ m \ll n$. Luego, usando la serie de Taylor de la función logaritmo: $$ (1+x) \log(1+x) + (1-x) \log(1-x) = (1+x) \left( x - \frac{x^2}{2} + \mathcal{o}(x^2) \right) + (1-x) \left(-x - \frac{x^2}{2} + \mathcal{o}(x^2)\right) = x^2 + \mathcal{o}(x^3) $$ Por lo tanto, la expresión original, asintóticamente, es igual a $$ \exp\left( -\frac{n}{2} x^2 + \mathcal{o}(n x^3)\right) = \exp\left(- \frac{m^2}{2n} + \mathcal{o}\left(\frac{m^3}{n^2}\right) \right) $$
Por la aproximación de Stirling tenemos $$ \binom{2n}{n+m}= \frac{(2n)!}{(n+m)!(n-m)!} \sim \frac{\sqrt{2\pi n} (2n/e)^{2n}}{\sqrt{2\pi(n+m)} \left( \frac{n+m}{e} \right)^{n+m} \sqrt{2\pi(n-m)} \left( \frac{n-m}{e} \right)^{n-m} }= \frac{1}{\sqrt{2\pi (n^2-m^2)}} \cdot \frac{(2n)^{2n} }{ (n+m)^{n+m} (n-m)^{n-m}} .$$
Ahora, si $m$ es "pequeño" en comparación con "n" entonces $$n^n (n+m)^{-(n+m)/2} (n-m)^{-(n-m)/2} \sim \frac{1}{2^n} \sqrt{ \sqrt{2\pi (n^2-m^2)}\binom{2n}{n+m} }.$$
Hacemos la suposición de que $m$ es pequeño en comparación con $n$ de manera precisa en el sentido de que tomamos $m=\mathcal{o}(n^{2/3})$ para que podamos aplicar la fórmula de entropía refinada encontrada en la ecuación 8 del enlace, lo que nos da el resultado.
