¿Es $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right]$ un dominio euclidiano?

Question

Estaba leyendo algunas cosas sobre anillos de enteros cuadráticos, y parece que $R = \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right]$ no debería ser un dominio euclidiano. Pero obtuve esto:

Si $a,b \in R$, entonces $\frac ab \in \mathbb{Q}\left[\frac{1+\sqrt{-5}}{2}\right]$, por lo que $\frac ab = u+v\omega$ donde $\omega = \frac{1+\sqrt{-5}}{2}$. Podemos encontrar $x$ y $y$ de modo que $|u - x|\leq 1/2$ y $|v - y|\leq 1/2$. Pero luego, como de costumbre, obtenemos un límite superior de la norma que no es suficiente, ya que podría ser igual a 1. Pero si es igual a 1, significa que $|u - x| = 1/2$ y $|v - y| = 1/2$, entonces tomamos $x$ como el techo de $u$ y $y$ como el piso de $v$, por ejemplo. Es en realidad una prueba bastante similar a la de $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\right]$ con la que me encontré...

Answer 1

Este no es un anillo de enteros; el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, que no es un PID (por lo tanto no es un UFD, por lo tanto no es un dominio euclidiano). Tu argumento asume incorrectamente que la norma de un elemento de tu anillo es un entero, lo cual es falso.

Answer 2

Como señaló @QiaochuYuan, $R={\mathbb Z}[{1+\sqrt{-5}\over 2}]$ no es el cierre integral de $\mathbb Z$ en $\mathbb Q(\sqrt{-5})$, por lo que preguntar si $R$ es Euclidiano es de alguna manera una distorsión de preguntas más significativas que suenan similares.

De hecho, $R$ es el auténtico anillo de enteros $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ con $1/2$ adyacente. Por casualidad, el número de clase de $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ es $2$ y el primo $2$ está ramificado $2\cdot \mathbb Z[\sqrt{-5}]=\tau^2$ para un ideal no principal $\tau$. Por lo tanto, esta localización elimina el primo $\tau$, y hace que el anillo resultante sea un anillo de Dedekind que es un dominio de ideales principales, por lo que es un dominio de factorización única. (En cuanto a si es Euclidiano, no lo sé... la norma ya no toma valores discretos, por lo que hay algún problema para dar sentido a esa ingenua pregunta sobre la "Euclideanidad".)

Answer 3

Sea $R = {\mathbb Z}[\sqrt{-5}]$ y $S = R[\frac12]$. La norma correcta en $S$ se define como de costumbre por $N_S(A) = \# S/A$ como la cardinalidad del anillo de clases residuales módulo un ideal $A$ en $S$. Dado que $2$ es una unidad en $S$, tenemos $N_S(2) = 1$. De hecho, podemos calcular $N_S(A)$ tomando la norma usual $N(A)$ y luego omitiendo los enteros de $2$ que ocurren aquí. Nuevamente, un elemento $u \in S$ es una unidad si y solo si $N_S(u) = 1.

Ahora es un ejercicio simple mostrar que $S$ es euclidiana con respecto a la norma $N_S$.