Prueba de que si $\sum_{n}|f_{n}(z)|$ converge, entonces $\prod_{n}(1+f_{n}(z))$ converge.

Question

Las funciones $f_{n}(z)$ son analíticas. Mi trabajo hasta ahora es el siguiente. Dado que $1+|f_{n}(z)|\le e^{|f_{n}(z)|}$ (es cierto que $|f_{n}(z)|\ge 0$), $$\begin{align*}\displaystyle\prod_{n}(1+|f_{n}(z)|)&\le \displaystyle\prod_{n}e^{|f_{n}(z)|}\\ \displaystyle\prod_{n}(1+|f_{n}(z)|)&\le e^{\sum_{n}|f_{n}(z)|}.\end{align*}$$

He demostrado que $\sum_{n}|f_{n}(z)|$ converge si y solo si $\prod_{n}(1+|f_{n}(z)|)$ converge. Ahora no sé cómo demostrar que si $\sum_{n}|f_{n}(z)|$ converge en cada subconjunto compacto de $\mathbb C$, entonces $\prod_{n}(1+f_{n}(z))$ converge en cada subconjunto compacto de $\mathbb C$.

Answer 1

Al elegir una rama adecuada de la función logaritmo (como la rama principal), la hace invertible con una función inversa continua (incluso diferenciable). Puedes hacerlo ya que para un $m$ lo suficientemente grande, la secuencia $a_{N} = \prod_{n=m}^{N} \ (1+f_n) $ tiene parte real positiva en el conjunto compacto, digamos $B$ (para argumentar esto necesitas usar la suposición de que $\sum_{n}|f_{n}(z)| < \infty $).

Ahora fija $z$ tomando $\log$ obtenemos, $\quad \log a_N = \sum_{n=m}^{N} \log (1+f_n (z)) .$ Nota que la serie anterior es absolutamente convergente porque

$$ \sum_{n=m}^{N} \big |\log (1+f_n (z))\big| \leq \sum_{n}|f_{n}(z)| < \infty $$

Por lo tanto, la secuencia $\log a_N$ converge a un número como $\ell \neq 0$. Esto implica que $a_N$ en sí converge a un número complejo, debido a la invertibilidad de esta rama de $\log$ con inversa continua.