Integrando la proporción de distribuciones normales

Question

Tengo una ratio de dos Gaussianas, $$l(z) = \frac{p[z|+]}{p[z|-]}$$, donde $$p[z|+]\sim N(\mu^+, \sigma)$$ y $$p[z|-]\sim N(\mu^-, \sigma)$$. Quiero encontrar la integral $$\int_{-\infty}^{\infty}l(z)dz$$. Hasta donde sé, la ratio de distribuciones normales sigue una distribución de Cauchy. Sin embargo, el libro que estoy leyendo afirma que la integral se puede expresar como $$\frac{1}{2}erfc(\frac{\mu^- - \mu^+}{2\sigma})$$, donde $$erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}exp(-y^2)dy$$. No estoy seguro de cómo se puede integrar z fuera de la integral original, ¿qué tipo de truco debería estar utilizando aquí?

Answer 1

El cociente de dos variables aleatorias Gaussianas es Cauchy, https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution pero estás tratando con la tasa de verosimilitud (el cociente de dos funciones de distribución de probabilidad). Si sustituyes las expresiones de pdf Gaussianas en la proporción, te darás cuenta de que $l(z)$ será otra Gaussiana también y por eso tienes $erf(.)$ como la integral.