Determinar si el grupo fundamental de una cinta de Möbius pegada a un toro es abeliano

Question

Estoy estudiando para un examen integral en topología, y esta es una pregunta antigua de hace unos años:

Sea $X$ el espacio topológico obtenido al unir una banda de Möbius $B$ y un toro $T= S^1 \times S^1$ identificando el círculo límite $C \subset B$ con el lazo $C' = S^1 \times \{x_0\}$ dentro de $T$. Sea $G = \pi_1(X)$.

1. Describe $G$ en términos de generadores y relaciones.
2. ¿Es $G$ abeliano?
3. Calcula $H_1(X)$.

No estoy seguro de cómo determinar si $G$ es abeliano... Utilizando el teorema de Van Kampen (tomando vecindarios abiertos de $B, T, C$ que se retraen por deformación sobre cada espacio respectivo), vemos que $G = \pi_1(X) = \langle b, c : c^2 b = bc^2 \rangle$. Mi pregunta es: ¿cómo se puede usar esta presentación de $G$ para deducir si es abeliano?

Sé que $H_1(X) \cong G^{ab}$ y creo que, en teoría, puedo deducir qué es $H_1(X)$ a través de un argumento usando Mayer-Vietoris... así que, si al final $H_1(X)$ resulta ser igual a $G$, supongo que podría dar por finalizado. Sin embargo, todo lo que he buscado sobre justificar por qué un grupo fundamental es abeliano implica un poco de tonterías abstractas que realmente no hacen uso de cómo se define por sus generadores y relaciones, así que siento que debería haber una manera bastante fácil de deducirlo a partir de eso. La única álgebra que tengo bajo la manga es la que corresponde a la secuencia de álgebra de pregrado de mi universidad, que supuestamente es suficiente para estas preguntas.

¡Cualquier orientación sería muy apreciada! Incluso si es solo un enlace a una referencia sobre cómo conciliar estas presentaciones complicadas con lo que los grupos 'realmente' son.

Answer 1

Para mostrar que un grupo no es abeliano, basta con encontrar un cociente no abeliano, por ejemplo, agregando relaciones. Ahora hay muchos cocientes obvios del grupo que encontraste que se pueden ver fácilmente que son no abelianos, por ejemplo $\langle b, c : b^2 = c^2 = 1 \rangle \cong \mathbb{Z}/2 * \mathbb{Z}/2$ o $S_3$ al mapear $c$ a una transposición y $b$ a un $3$-ciclo.

Como menciona @Ben en los comentarios, para encontrar la abelianización, basta con agregar relaciones que hagan que cada par de generadores conmute, y en este caso debería ser reconocible como $\mathbb{Z}^2$. Sea $\langle S : R \rangle$ una presentación de un grupo $G$ y sea $R'$ la unión de $R$ con $[S, S]$, es decir, el conjunto de conmutadores de pares en $S$. Entonces $G' = \langle S : R' \rangle$ es un cociente abeliano de $G$ y no es difícil comprobar que el núcleo del homomorfismo cociente $G \to G'$ es $[G, G]$.