Orden parcial que obliga a intersecciones finitas con conjuntos que no están en un ultrafiltro.

Question

Lo siguiente es del artículo "Modelos canónicos para fragmentos del Axioma de Elección" escrito por Paul Larson y Jindrich Zapletal, en la Reclamación 3.4:
Sea $U$ un ultrafiltro no principal en $\omega$ con intersección vacía con $A$, donde $A \subseteq \mathcal{P}(\omega)$ es una familia infinita de $MAD$. Sea $P$ el poset usual de $c.c.c.$ que añade un conjunto $\dot x_{gen} \subseteq \omega$ que tiene intersección finita con cada conjunto que no está en $U$.
Trabajamos con ZFC y la hipótesis de que existen cardenales de Woodin.
Mi pregunta ahora es: ¿Cuál es un orden parcial tan usual $P$, que fuerce lo anterior?

Answer 1

Un posible poset sería el siguiente: Sea $\mathbb{P}=[\omega]^{<\omega}\times U$, y $(s,X)\ge (t,Y)$ si y solo si

• $s\subseteq t$,
• $X\supseteq Y$, y
• $t\setminus \max s \subseteq X$.

Sea $G$ un filtro genérico de $\mathbb{P}$, y sea $x_{gen}=\bigcup\{s\mid \exists X\in U: (s,X)\in G\}$. Para cada $Z\subseteq \omega$ que no está en $U$, considera $$\mathcal{D}_Z = \{(s,X)\in\mathbb{P}\mid X\subseteq \omega\setminus Z\}.$$ Entonces podemos ver que $\mathcal{D}_Z$ es denso. Por lo tanto, existe $s$ tal que $(s,\omega\setminus Z)\in G$. A partir de esto, podemos ver que $x_{gen}\setminus \max s\subseteq \omega\setminus Z$. Especialmente, $x_{gen}\cap Z\subseteq \max s$.

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Resta demostrar que $\mathbb{P}$ tiene c.c.c. Sea $\{(s_\alpha,X_\alpha)\mid \alpha<\omega_1\}\subseteq \mathbb{P}$. Dado que $[\omega]^{<\omega}$ es numerable, podemos asumir que $s_\alpha$ es constante con valor $s$. Por lo tanto, basta con demostrar que $(U,\subseteq)$ satisface c.c.c., y de hecho, cada par de elementos de $U$ es compatible.

Answer 2

Dada una familia de conjuntos co-infinitos, $X$, definimos el forcing que evita todos los conjuntos en $X$, $\Bbb P_X$ como la colección de pares $(p,S)$ tal que:

1. $p\colon\omega\to 2$ es una función parcial con dominio finito.
2. $S\subseteq X$ es una familia finita de conjuntos.

Ahora definimos el orden de la siguiente manera: $(q,T)\leq(p,S)$ si:

1. $p\subseteq q$,
2. $S\subseteq T$, y
3. para todo $A\in S$, si $n\in (A\cap\operatorname{dom}(q))\setminus\operatorname{dom}(p)$, entonces $q(n)=0$.

En otras palabras, una vez que $A$ entra en el componente $S$, cualquier extensión futura debe evitarlo.

Ahora es fácil ver que $\Bbb P_X$ es c.c.c. ya que cualquier par de condiciones con el mismo tallo (la coordenada $p$) deben ser compatibles y solo hay un número numerable de tallos posibles.

Y si $g$ es el subconjunto genérico dado por el filtro genérico $G$, entonces para todo $A\in X$, existe alguna condición $(p,S)\in G$ tal que $A\in S$, y por lo tanto cualquier extensión posterior más allá de $p$ debe forzar que $g\cap A$ sea finito.