¿Converge $\sum \frac{a_n}{1+n a_n}$ si $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$ si $n$ es un cuadrado perfecto y $a_n = \frac{1}{n^2}$ en otro caso?

Question

Dada la secuencia $\left\{ a_n \right\}$, donde $$a_n = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \mbox{ si } n \mbox{ es un cuadrado perfecto} \\ \frac{1}{n^2} \ \mbox{ en otro caso}, \end{cases}$$ ¿converge o diverge la serie $$\sum \frac{a_n}{1 + n a_n}$$?

Mi esfuerzo:

Si $n = m^2$, entonces tenemos $$\frac{a_n}{1+na_n} = \frac{ \frac{1}{m} }{ 1 + m^2 \frac{1}{m} } = \frac{1}{m(m+1)} = \frac{1}{\sqrt{n} (1 + \sqrt{n})}, $$ y en otro caso $$ \frac{a_n}{1+na_n} = \frac{ \frac{1}{n^2}}{1+ n \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{n^2 + n}. $$ Así que tenemos $$ \frac{a_n}{1+na_n} = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{n} (1 + \sqrt{n})} \ \mbox{ si } n \mbox{ es un cuadrado perfecto} \\ \frac{1}{n( 1 + n)} \ \mbox{ en otro caso}. \end{cases} $$

¿Qué sigue? ¿Cómo proceder a partir de aquí?

Un pensamiento posterior:

Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces notamos que $$\frac{a_n}{1+na_n} = \frac{1}{\sqrt{n}(1+ \sqrt{n})} \geq \frac{1}{2n},$$

Answer 1

Pista. $$\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{1+na_n}=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_{k^2}}{1+k^2 a_{k^2}}+\sum_{n\text{ no es un cuadrado}} \frac{a_n}{1+na_n}$$

A partir de lo que has hecho, sabemos que
$$\sum_{k=1}^\infty\frac{a_{k^2}}{1+k^2 a_{k^2}}=\sum_{k=1}^\infty\frac 1{k(k+1)}<\infty$$ y
$$\sum_{n\text{ no es un cuadrado}} \frac{a_n}{1+na_n}=\sum_{n\text{ no es un cuadrado}}\frac 1{n(n+1)}<\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n(n+1)}<\infty$$