Un campo finito $\mathbb{F}_p$ posee la propiedad de que para cualquier polinomio irreducible $f\in\mathbb{F}_p[x]$ que adhiera cualquier raíz de $f$ automáticamente adhiere todas las raíces de $f. (En otras palabras, cualquier extensión de $\mathbb{F}_p$ es normal.)
¿El campo $\mathbb{Q}_p$ posee la misma propiedad? Si no, ¿es cierto para polinomios irreducibles $f\in\mathbb{Q}_p[x]$ con coeficientes en el conjunto $\{0,1,...,p-1\}$?
La pregunta es si una extensión finita $L$ de nuestro campo dado $K$ es normal o no. Si es normal, entonces todo polinomio irreducible en $K[x]$ que tiene una raíz en $L$, tiene todas sus raíces en $L.
Las extensiones finitas de campos finitos son de Galois, por lo tanto, normales. Sin embargo, las extensiones finitas de $\mathbb{Q}_p$ no necesariamente son normales en general. Sin embargo, si la extensión $L/K$ es desramificada entonces $L/K$ es Galois (ver acá).
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