Cambios en las condiciones de contorno de Neumann a través de la transformación de coordenadas de una EDP elíptica, formulación débil.

Question

La formulación débil estándar del problema de Neumann para la ecuación de Poisson consiste en encontrar $u \in H^1 ( \Omega)$ tal que para todo $v \in H^1 ( \Omega)$:

$$\int_{\Omega} \nabla u \nabla v d x = \int_{\Omega} fv d x + \int_{\partial \Omega} gv d s$$

para $f \in L^2 ( \Omega)$ y $g \in H^{- 1 / 2} ( \Omega)$ dados.

Mi objetivo es introducir un cambio de coordenadas arbitrario y llegar a una formulación débil análoga.

Empiezo con la formulación clásica $- \Delta u ( x) = f ( x)$ y $\partial_n u ( x) = g (x)$ con todo bien y suave. Ahora sea $\phi : \Omega \rightarrow \tilde{\Omega} : x \mapsto \phi ( x) = : \tilde{x}$ siendo $C^{\infty}$ y biyectiva, y defina $\tilde{u} \circ \phi = u$. Aplicando la regla de la cadena a $\Delta_x ( \tilde{u} \circ \phi)$ encontramos el operador diferencial $L$:

$$L \tilde{u} ( \tilde{x}) = a_{i j} ( x) \partial_{i j} \tilde{u} ( \tilde{x}) + b_j ( x) \tilde{u} ( \tilde{x}),$$

donde $a_{i j} ( x) = \partial_k \phi_i ( x) \partial_k \phi_j ( x)$, $b_j ( x) = \Delta \phi_j ( x)$ y se usa la convención usual de sumatoria sobre índices repetidos. Sí, las coordenadas están todas mezcladas: omití una composición con $\phi^{- 1}$ porque es complicado.

Ahora se cumple que $\Delta_x u ( x) = L \tilde{u} (\phi ( x))$ para todo $x \in \Omega.

Pregunta 1: Mi operador no está en forma de divergencia, por lo que encontrar la formulación débil va a ser un lío real. ¿Cuál sería un enfoque mejor?

Pregunta 2: ¿Cómo transformo las condiciones de frontera? Me gustaría algo como

$$\partial_{\nu} \tilde{u} ( \tilde{x}) = \tilde{g}( \tilde{x}) .$$

La regla de la cadena aplicada a $\partial_n ( \tilde{u} \circ \phi)$ resulta en $\partial_{\nu} \tilde{u} ( x) = \nabla \tilde{u} ( x) \nu ( x) = \nabla \tilde{u} ( x) D \phi ( x) n ( x)$, lo cual tiene sentido en parte ya que el campo de vectores normales se transforma con la diferencial, pero está lejos de lo que necesitaría durante la integración parcial para derivar la formulación débil, que preferiblemente sería (asumiendo que $L$ estuviera en forma de divergencia)

$$\partial_{\nu} \tilde{u} = a_{i j} \partial_i \tilde{u} \nu_j .$$

Esto debe ser bastante básico, pero estoy un poco confundido aquí...

Answer 1

Te sugiero aplicar la transformación de coordenadas a la formulación débil, en lugar de a la formulación clásica.