Mapa cerrado de $C^1[0,1]$ a $C[0,1]$ y funcional no cerrado en $C^1[0,1]$

Question

Sea $X=C^1[0,1]$ y $Y=C[0,1]$, ambos con la norma suprema. Define $F: X \rightarrow Y$ por $F(x)=x+x'$ y $f: X \rightarrow K$ $f(x)=x(1)+x'(1)$ para $x \in X$. (Donde $K$ es un escalar)

Quiero demostrar lo siguiente "''$F$ es un mapa cerrado pero $f$ no es un mapa cerrado''."

Mi intento: Para probar que $F$ es un mapa cerrado primero mostraré que $F^{-1} : \text{rango } F \rightarrow X$ existe y luego $F^{-1}$ está acotado. Sea $F(x)=F (y) \implies x+x' = y+y' \implies x-y = -x' + y' \implies (x-y)=-(x-y)'$. ¿Por qué esto implica que $F$ es uno a uno? Estoy atascado aquí, ¿cómo debo proceder? ¿Es correcto mi enfoque?

Para demostrar que $f$ no es cerrado. Debo encontrar un conjunto cerrado en $X$ cuya imagen bajo $f$ no es cerrada en $K$. No tengo ninguna intuición sobre cómo pensar en dicho conjunto.

Nota: Aquí $x \in X$ así que considera $x$ como una función. Lamento mucho las malas notaciones

Answer 1

Respuesta para la primera parte: En el contexto del Análisis Funcional, una aplicación lineal cerrada es aquella cuyo grafo es cerrado. [Esto no es equivalente a la definición topológica de una aplicación que envía conjuntos cerrados a conjuntos cerrados]. Supongamos que $(x_n, F(x_n))$ es una secuencia en el grafo de $F$ que converge a $(x,y)$. Entonces $x_n \to x$ uniformemente y $x_n+x_n' \to y$ uniformemente. Pero entonces $x_n' \to y-x$ uniformemente. Esto implica que $y-x=x'$ así que $y+x' =F(x)$. Esto prueba la primera parte.

Segunda parte: Para la segunda parte: Sea $x_n(t)=\frac {t^{n}} n$. Entonces $(x_n, f(x_n)) \to (0,1)$ y $(0,1)$ no pertenece al grafo de $f$.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Kavi, aquí está la versión topológica:

Sea $C = \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, donde $x_n(t)= n e^{-t} + {1 \over n} (1-e^{-t})$. Cada par de elementos distintos de $C$ están separados por al menos uno, por lo tanto $C$ es cerrado. Nota que $F(x_n) = f(x_n) = {1 \over n}$, pero $0 \notin F(C)$ y así ni $F$ ni $f$ son mapas cerrados en el sentido topológico.

La clave aquí es que el núcleo y el rango son no triviales.