¿Para una función generadora ordinaria dada $f(x)=a_0+a_1x+...$, hay algún método para determinar la tasa de crecimiento de sus coeficientes basándose en la de $f$? En particular, si se nos proporciona la información adicional de que $$\lim\limits_{a \to 1^-}\frac{1-a}{a}*\log f(a)=\frac{\pi^2}{12}$$ ¿Podemos fortalecer nuestra estimación asintótica?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Determinar el crecimiento asintótico de los coeficientes de una función generadora es básicamente todo el tema de Analytic Combinatorics, sobre el cual puedes ver el libro de 810 páginas de Flajolet y Sedgewick disponible en línea.
La configuración básica es la siguiente: para una gran clase de funciones generadoras $G(z) = g_0 + g_1z + g_2z^2 + \dots$, podemos mostrar que los coeficientes satisfacen $$g_n = [z^n]G(z) = A^n \theta(n),$$ donde $A^n$ es la tasa de crecimiento exponencial y $\theta(n)$ es un factor subexponencial.
Aquí, la tasa de crecimiento exponencial $A = \lim \sup |g_n|^{1/n}$ está determinada por la ubicación de las singularidades de la función $G(z) : bajo condiciones agradables, es simplemente el recíproco del radio de convergencia ($A = 1/R$).
Cuando $A > 1$, para muchos propósitos es suficiente determinar $A, pero cuando $A = 1$ no es muy informativo.
El factor subexponencial $\theta(n)$ está determinado por la "naturaleza" de las singularidades (de una manera que se aclara en el libro).
andy.holmes
Puntos
518
Según el teorema de Cauchy-Hadamard, $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1/R$. Si el lim sup es en realidad un límite, y aún mejor, si el límite de la fórmula del cociente existe, entonces la tasa de crecimiento asintótico es aproximadamente el recíproco de la distancia del origen a la singularidad más cercana de $f$.
