Sobre el género de una curva y su conjunto de puntos racionales.

Question

El género $g$ de una curva no singular $C$ de grado $n$ se define como $g = \frac{1}{2}(n-1)(n-2)$. Sea $C(Q)$ el conjunto de puntos racionales en $C$. Por Faltings, sabemos que $C(Q) < \infty$ para todo $g\geq 2.

Me pregunto si existe otro resultado (aparte de Faltings) que relacione el tamaño de $C(Q)$ y $g$? Más fuertemente, ¿varía el tamaño de $C(Q)$ directamente en función de $g$?

Answer 1

Todavía sigue siendo una pregunta abierta si, para cada $g \geq 2$ y cualquier cuerpo de números $K$, existe un límite uniforme $B_g(K)$ tal que cada curva $C$ de género $g$ sobre $K$ tiene a lo sumo $B_g(K)$ puntos racionales. Esto se conoce como la conjetura de Mordell uniforme.

Así que, no solo no sabemos el tamaño $C(K)$ en términos de $g$, ni siquiera sabemos si hay un límite uniforme.