Podría ser, aunque altamente improbable, que mañana por la mañana alguien presentara un argumento particularmente convincente para aceptar un axioma de teoría de conjuntos como $V=L$ o $V=K$ para algún otro modelo central canónico adecuado (para acomodar algunos grandes cardenales, de todos modos), o incluso Woodin podría tener éxito en su plan de convencernos al resto de que $V=\textrm{Ultimate-}L$ es "el axioma correcto" que nos faltaba.
Sí, podría ser que algo en el corazón de la humanidad cambie mañana por la mañana, y todos veamos la luz y aceptemos algún axioma que implique $\sf CH$, o incluso $\sf GCH$. ¿Qué podemos probar, en ese caso? Bueno, hay mucho trabajo en teoría de conjuntos donde demostramos que ciertas cosas siguen de $\sf CH$ o tal vez implican su negación (es decir, la negación de la afirmación sigue de $\sf CH$).
Todas esas cosas se volverán "verdaderas" de inmediato en un contexto más amplio de las matemáticas, ya que siguen de lo que más o menos hemos acordado que es la teoría base de las matemáticas. El cuerpo de trabajo en esto es tan grande que es difícil siquiera ponerle un límite. Dave L. Renfro dio un buen comienzo. Agregaré a esto y sugeriré investigar mucho sobre los axiomas de forcing (por ejemplo, el Axioma de Martin) y las características cardinales del continuo. En cierto sentido, ambos pueden considerarse como ciertas extensiones del trabajo de Sierpinski.
Muchas otras cosas, como $\rm P=NP, RH$, y muchas otras, no se verán afectadas, ya que, como señala Noah Schweber, estas afirmaciones tienen una cierta complejidad lógica que nos permite prescindir de $\sf CH$, o incluso de $\sf AC$, en cuanto a su verdad en el universo matemático. Hasta cierto punto, esta es la razón por la cual no tenemos "contraejemplos razonables a $\sf CH$" en el contexto de los números reales. Cualquier conjunto boreliano debe ser numerable o tener tamaño del continuo. Entonces, si aceptamos la premisa de que un contraejemplo debería ser razonable, y que los conjuntos razonables son borelianos, entonces, en ese sentido, $\sf CH$ ya es "verdadero".
Pero ¿significa eso que la verdad, o incluso "definitud", de la Hipótesis del Continuo es más o menos importante que $\rm P=NP$? En cierto sentido, tienes razón, tiene menos efecto en las matemáticas cotidianas y ciertamente casi ningún efecto en la vida real tal como la entendemos hoy. Pero en ese sentido, $\rm P=NP$ también es una gran distracción. Si alguien demostrara mañana por la mañana que $\rm P=NP$, pero cualquier algoritmo polinómico para encontrar una solución para un problema de $3\rm SAT$ debe tener una complejidad de $O(n^{U!})$ donde $U=2^{2^m}$, donde $m$ es $((\text{número de átomos de hidrógeno en el universo})!)!$, entonces cualquier intento de encontrar una solución general real a estos problemas será tan ridículamente imposible, que para todos los efectos, esto no está resuelto en absoluto.
Muchos de estos otros, llamados "problemas importantes", sufren destinos similares. Solo porque haya una solución, o incluso una solución que técnicamente se considere "eficiente", no significa que haya una que sea factible para nosotros o para nuestros ancestros lejanos. Y es muy probable que terminemos confiando en conjeturas y cálculos numéricos aproximados hasta la muerte térmica del universo.
Por otro lado, las matemáticas, como tema propio, y la teoría de conjuntos en particular, tienen cierta elegancia. Hacer preguntas sobre esta elegancia es importante, y al final del día aprendemos bastante de ella. Tanto en los aspectos filosóficos de las matemáticas y la teoría de conjuntos, sobre lo que significa ser verdadero, demostrable y los fundamentos de las matemáticas; así como en sus avances en teoría de conjuntos que lentamente se filtran en cosas como álgebra, análisis, y así sucesivamente, que pueden, algún día, tener "un impacto real" en la vida diaria de los hijos de tus hijos de tus hijos.
Terminaré con una supuesta cita de Faraday, "¿de qué sirve un recién nacido?", cuando le preguntaron para qué iba a servir esta "cosa de la electricidad". Todavía no lo sabemos, nunca lo sabremos. En términos lógicos, este es un problema $\Sigma_1$: hasta que le encuentres un uso, no sabes si es útil. Y argumento que ya encontramos usos para el estudio de la verdad de la Hipótesis del Continuo.
