Demuestre que el límite lim n→∞ $ {(2n^7 + 3n^5 + 4n) \over (4n^7 − 7n^2 + 5)} $ = 1/2

Question

Estoy tratando de usar la definición formal de un límite para probar
$\lim \limits_{x \to } $$ {(2n^7 + 3n^5 + 4n)\over(4n^7 7n^2 + 5)}$ = 1/2

Entiendo que este problema se resuelve al revés, así que establezco la ecuación

$ {(2n^7 + 3n^5 + 4n)\over(8n^7-14n^2+10)}$ - ${1\over 2}$

$\left|{(2n^7 + 3n^5 + 4n)\over(8n^7-14n^2+10)} - {1\over 2} \right|$ <

Tanto el denominador como el numerador son siempre positivos, así que podemos eliminar el valor absoluto y simplificar y reescribir

$ {(6n^3-7)\over(8n^7-14n^2+10)}$ < $ {(6n^5-7n^2+8n+5)\over(8n^7-14n^2+10)}$ <

$ {(1)\over(4n^4)}$ = $ {(n^3)\over(4n^7)}$ < $ {(3n^3)\over(4n^7)}$ = $ {(6n^3)\over(8n^7)}$ < $ {(6n^3)\over(8n^7-14n^2+10)}$ < +7

$ {(1)\over(+7)}$ < $4n^4$

$ {1\over4+28^{1\over4}}$ < n = N

Ahora tengo mi N, así que puedo escribir mi prueba:

Sea, N > 0 y N < n. Supongamos N = $ {1\over4+28^{1\over4}}$ . Entonces debe seguir que:

$ {1\over4+28^{1\over4}}$ < n

$ {1\over4+28}$ < $n^4$

$ {1\over4+28}$ < $4n^4$

$ {1\over 4n^4}$ < $+7$

a partir de ahí no sé cómo usar mis desigualdades para volver a lo que empecé.

Answer 1

Tenga en cuenta que\begin{align}\left\lvert\frac{2n^7+3n^5+4n}{4n^7-7n^2+5}-\frac12\right\rvert&=\frac{\lvert6n^5+7n^2+8n-5\rvert}{\lvert8n^7-14n^2+10\rvert}\\&\leqslant\frac{26n^5}{8n^7-14n^2-10}\\&=\frac{26}{8n^2-14n^{-3}-10n^{-5}}\\&\leqslant\frac{26}{8n^2-24},\end{align}si $n>1$. Ahora, utilice el hecho de que\begin{align}\frac{26}{8n^2-24}<\varepsilon&\iff8n^2-24>\frac{26}\varepsilon\\&\iff n>\sqrt{\frac{13}{4\varepsilon}+3}.\end{align}

Answer 2

Preferiría usar otro enfoque:

Divida primero tanto el numerador como el denominador por la potencia más grande $n^7$ de la siguiente manera $$\frac{(2n^7 + 3n^5 + 4n)}{(4n^7 − 7n^2 + 5)}=\frac{2+3\frac{1}{n^2}+4\frac{1}{n^6}}{4-7\frac{1}{n^5}+5\frac{1}{n^7}}$$ Tenga en cuenta que $$\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n^k}\Bigr)=0\;\forall k\in\mathbb{N_{>0}}$$ Por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}\Biggl(\frac{(2n^7 + 3n^5 + 4n)}{(4n^7 − 7n^2 + 5)}\Biggr)=\lim_{n\to\infty}\Biggl(\frac{2+3\frac{1}{n^2}+4\frac{1}{n^6}}{4-7\frac{1}{n^5}+5\frac{1}{n^7}}\Biggr)=\frac{2+0+0}{4-0+0}=\frac{1}{2}$$