En este artículo, (eq.92) tiene,
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_{n+1}F_{n+2}} = \frac{1}{\phi^2}\tag1$$
y me preguntaba si esto podría generalizarse a los números tribonacci. Parece que sí. Dado los números Fibonacci, tribonacci, tetranacci (en general, los números k-step de Fibonacci) empezando con $n=1$,
$$F_n = 1,1,2,3,5,8\dots$$
$$T_n = 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24,\dots$$
$$U_n = 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, \dots$$
y sus tasas límite, $x_k$, la raíz $x_k \to 2$ de,
$$(2-x)x^k = 1$$
con la constante de Fibonacci $x_2$, la constante tribonacci $x_3$, etc, se puede observar empíricamente que,
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n+3}}{F_{n+2}}\right) = \frac{1}{x_2^2}\tag2$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{T_{n+2}}{T_{n+1}}-\frac{T_{n+3}}{T_{n+2}}\right) = \frac{1}{x_3^3}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{U_{n+2}}{U_{n+1}}-\frac{U_{n+3}}{U_{n+2}}\right) = \frac{1}{x_4^4}$$
y así sucesivamente. P: ¿Cómo podemos demostrar rigurosamente que la observación en efecto se cumple para todos los enteros $k\geq2$?
Editar:
Para abordar un comentario que desapareció, para transformar $(1)$ a $(2)$, usamos un caso especial de la identidad de Catalán,
$$F_{n+2}^2-F_{n+1}F_{n+3} = (-1)^{n+1}$$
por lo tanto,
$$\begin{aligned} \frac{(-1)^{n+1}}{F_{n+1}F_{n+2}} &= \frac{F_{n+2}^2-F_{n+1}F_{n+3}}{F_{n+1}F_{n+2}}\\ &= \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} - \frac{F_{n+3}}{F_{n+2}} \end{aligned}$$
por lo tanto la serie alternada $(1)$ es igual a $(2)$.
