Respuesta en frecuencia del amplificador operacional doble

Question

Estaba investigando la ubicación de los capacitores en circuitos de doble amplificador operacional ideal y me encontré con este circuito (R1=R2=R3=1kOhm, R4=10kOhm, C1=1uF):

Intenté determinar la ganancia de voltaje (función de transferencia) de este circuito G=(vo/vi), para lo cual obtengo la siguiente expresión:

$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{R_2}{R_{eq}}\frac{R_4}{R_3}=\frac{R_2R_4}{R_3R_1}(1+sC_1R_1)$$

donde Req=(R1||(1/sC1)) y s=jw=variable de frecuencia.

Decidí graficar un diagrama de Bode para esta función de transferencia y obtuve un resultado inestable a altas frecuencias, como era de esperar ya que G tiende a infinito cuando s tiende a infinito. Sin embargo, al simular este circuito (usé CircuitLab) el diagrama de Bode que obtengo es similar en forma al de un filtro pasa banda.

Esto me lleva a pensar que mi derivación de la función de transferencia G es incorrecta, y que debería coincidir con la función de transferencia asociada a un filtro pasa banda de primer orden. ¿Alguien podría confirmar mi sospecha?

Answer 1

Este circuito es maravillosamente malvado, y si estuviera enseñando una clase de circuitos lo convertiría en un problema de tarea, y luego pondría alguna derivación de él en el examen final.

Olvida el segundo amplificador, y R3 y R4. Eso es solo una distracción. Para muchas combinaciones de partes del mundo real, la primera etapa oscilará. Donde no oscile, a alguna frecuencia mostrará una fuerte resonancia, con una ganancia mucho mayor de lo esperado $H_{fs}(s)=\frac{R_2}{R_1}\left(R_1 C_1 s + 1\right)$.

La razón de esto es porque $C_1$ realmente pone un polo en el lazo de retroalimentación, y la mayoría de los amplificadores operacionales en estos días están estabilizados contra ceros en el lazo de retroalimentación (es decir, un capacitor en paralelo con $R_2$), no están estabilizados contra polos.

Si vuelves a KVL, encontrarás que puedes escribir $v_- = \frac{G_2 v_o + (G_1 + C_1 s)v_i}{G_1 + G_2 + C_1 s} \tag 1$ (donde estoy usando conductancia en lugar de resistencia, porque soy perezoso -- simplemente toma $G_1 = 1/R_1$, y así sucesivamente).

Ahora olvídate de esa cosa de amplificador operacional ideal, y deja $v_o = - H_a(s) v_-$. Resuelve (1) para $v_-$ y obtendrás $V_-(s) = \frac{C_1 s + G_1}{C_1 s + G_2 H_a(s) + G_2 + G_1}V_i(s) \tag 2$

En un amplificador operacional típico, $H_a$ tiene la forma $H_a(s) = \frac{\omega_{GBW}}{(s + \omega_0)(\frac{s}{\omega_1} + 1)(\frac{s}{\omega_2} + 1)\cdots(\frac{s}{\omega_\infty} + 1)}\tag 3$ Por lo general, $\omega_0$ está alrededor de $1\mathrm{Hz}$ a $100\mathrm{Hz}$, y $\omega_1$ a través de $\omega_\infty$ serán mayores que $\omega_{GBW}$, y lo suficientemente altas para que el desfase de $H_a$ no sea más de 120 grados aproximadamente en ganancia unitaria, asegurando así la estabilidad si no te metes.

Por otro lado, tan pronto como colocas ese capacitor en el camino directo, estás introduciendo un polo en la ganancia en lazo. Si juegas con (2), descubrirás que la tendencia general del circuito con $C_1$ allí es empezar a cantar. Si el amplificador operacional fuera un integrador perfecto ($H_a(s) = \frac{\omega_{GBW}}{s}$), entonces obtendrías una supergran resonancia aproximadamente en la media geométrica de $\omega_{GBW}$ y $\frac{1}{G_2 C_1}$. Con cualquier polo real en la respuesta del amplificador operacional, oscilará -- probablemente cerca de esa misma media geométrica, o tal vez un poco más baja.

Te sugeriría que simules este circuito con un modelo de amplificador operacional real en el dominio del tiempo -- no solo usando un barrido de frecuencia. No lo he intentado, pero creo que verás una oscilación.

Nota que si quisieras hacer algo así en el mundo real y que realmente funcione, pondrías una resistencia en serie con $C_1$. Si alguien está leyendo esto y está furioso conmigo porque tiene un circuito como este y sí funciona -- verifica si $C_1$ es un electrolítico, y mira la etapa precedente. Para muchas combinaciones de amplificador operacional y condensador electrolítico, la ESR del condensador bien podría estabilizar el circuito lo suficiente como para que al menos sea estable (si no bien comportado). De hecho, si la etapa precedente tiene una impedancia no nula en el rango correcto de frecuencias, eso también estabilizaría el circuito.

Answer 2

Este es un caso curioso: lo simulé y obtuve la misma respuesta "bandpass" aguda.

Tu ecuación de transferencia es correcta.

Es un filtro de paso alto, y la ganancia explota a infinito en frecuencias altas.

Esto tiene sentido: la impedancia de C1 se acerca a cero, por lo que la ganancia de la primera etapa R2/0 se acerca a infinito.

Pero en la vida real o incluso en simulación, el amplificador operacional solo puede emitir una cierta cantidad. En algún momento, la entrada inversora del amplificador operacional ya no se puede mantener a tierra virtual porque el amplificador operacional ha agotado su rango de voltaje.

Por lo tanto, la ganancia aumentará rápidamente a medida que la impedancia de C1 disminuya, alcanzará un máximo y, a partir de entonces, el amplificador operacional dejará de comportarse, convirtiéndose en un comparador descontrolado que choca contra los raíles. En este punto, los resultados de la simulación en el dominio de la frecuencia se volverán ilógicos porque las cosas se han vuelto no lineales (distorsión).

La forma de hacer que este circuito se comporte es agregar alguna resistencia de fuente Rs en tu fuente de voltaje. Esto evita la división por 0 y siempre que la ganancia de la primera etapa R2/Rs esté dentro del rango del amplificador operacional, obtendrás la respuesta de paso alto esperada.

Existirá una caída adicional por encima de 100kHz debido a la debilidad general del amplificador operacional a altas frecuencias.

EDITAR Aquí hay un plot de la simulación sobre la que está hablando el OP. Se esperaba una respuesta de paso alto dada la función de transferencia, sin embargo, se observó este aparente agudo bandpass.

Answer 3

Se está generando demasiado misterio en las respuestas. En pocas palabras, la ganancia en la primera etapa es $$\frac{Z_f}{Z_{\text{in}}}$$

El denominador tiende a cero a alta frecuencia, ya que el capacitor se comporta como un cortocircuito.