Ley de Weyl para SL(2,C)

Question

¿Hay estimaciones para los autovalores del operador de Laplace para $\Gamma \backslash SL(2, \mathbb{C})/SU(2)$ conocidas más allá del término principal? Aquí, $\Gamma$ debería ser un subgrupo de congruencia en $SL(2,o)$ para $o$ el anillo de enteros en un campo cuadrático imaginario.

He consultado Mathscinet y no pude encontrar nada excepto para el término principal.

Answer 1

Para variedades compactas generales (de dimensión $n$), el término de error (en el número de valores propios menores que $T^2$, contados con multiplicidad) es $O(T^{n-1})$. Así que para $\Gamma$ co-compacto, el término de error es $O(T^2).

Para $\Gamma$ meramente co-finito, debería ser posible acotar el término de error, pero desconozco cualquier resultado. En la Sección 4 de esta encuesta por Müller (por cierto, la ecuación 1.3 es la Ley de Weyl para variedades compactas con el término de error, y la Sección 2 esboza un enfoque diferente para espacios simétricos localmente compactos), él esboza una prueba de una forma fuerte de la ley (usando la función Zeta de Selberg) e implica que el argumento funcionaría para otros grupos de rango uno.

El libro Grupos que Actúan en Espacio Hiperbólico parece (usando Vista Previa en Google) demostrar la forma fuerte de la ley en el caso co-compacto (Sección 5.5), pero solo parece demostrar la forma débil en el caso co-finito (Sección 8.9).