Estoy tratando de derivar la fórmula para el radio del círculo inscrito en un triángulo equilátero desde cero.
Dado
$2*n$ = longitud de un lado
$H$ = la altura del triángulo = $h + a$
$h$ = la subdivisión larga (desde el centro del triángulo hasta un vértice)
$a$ = la subdivisión corta (desde el centro del triángulo hasta un lado. También el radio del círculo inscrito)
Al derivar primero la altura del triángulo
$\displaystyle \begin{align} 2 n&=\sqrt{H^2+n^2} \\ H&=\sqrt{(2 n)^2-n^2} \\ &=\sqrt{3}\;n \\ \end{align}$
He llegado a la ecuación reducida
$n \sqrt(3) - a = \sqrt(a^2+n^2)$
$\displaystyle \begin{align} a+h=\sqrt{3}\;n \\ h=\sqrt{3}\;n-a \\\\ a^2+n^2=h^2 \\ h=\sqrt{a^2+n^2} \\ \end{align}$
Intentando resolver para $a$, sé de antemano que $a$ es $1/3$ y $h$ es $2/3$ de $H$, con
$a = n\sqrt(3)/3$
Esta es, por supuesto, la respuesta que deseo derivar.
De hecho, al insertar la ecuación dada anteriormente en un sistema como Mathematica proporcionará la respuesta correcta. Pero no puedo averiguar cuáles son los pasos, principalmente porque no sé cómo extraer el término $a$ de dentro del término de la raíz cuadrada.
Por favor, sin trigonometría. Sé que hay una derivación rápida que implica tangentes, etc., pero esto es más adecuadamente un problema de álgebra: cómo resolver la ecuación para $a$.
