Supongamos que $X$ es un espacio de Banach separable, de dimensión infinita.
Diremos que un conjunto de funciones $\{f_\alpha\}_{\alpha \in A}$ separa puntos en $X$ si para todo $x,y \in X$, existe un $\alpha$ tal que $f_\alpha(x) \neq f_\alpha(y)$.
¿Es el caso de que $C_c(X)$ separa puntos en $X$?
He intentado construir funciones en $C_c(X)$ que separen puntos distintos $x,y$ en $X$ utilizando la caracterización como subconjuntos compactos de $X$ exactamente como los subconjuntos cerrados, acotados y planos (donde $K$ es plano si para todo $\varepsilon > 0$ existe un subespacio de dimensión finita $F$ de $X$ tal que $K \subseteq F + B(0,\varepsilon)$), pero estos intentos no llegaron a ningún lado.
Si es útil, estoy realmente interesado en el caso donde $X$ es un subespacio separable de un espacio de Besov $B_{\infty,\infty}^\alpha$, por lo que estaría feliz con una respuesta utilizando otras propiedades de ese espacio.
