Intuición detrás de la imparcialidad del estimador de mínimos cuadrados ordinarios

Question

Una de las propiedades de OLS es $\sum {\rm residuos} = 0$.

Entiendo la prueba pero mi intuición no entiende por qué esto es cierto. Es decir, ¿por qué minimizar la suma de los cuadrados de los residuos implica que la suma de los residuos = 0?

¿Tienes una explicación simple que no implique muchos cálculos?

Answer 1

El término constante (la intercepción) absorbe la media no nula del término de error, y nos permite asumir de manera segura que el término de error "restante" tiene una media cero. Por eso casi siempre es incorrecto no incluir una intercepción, porque entonces $E(u) \neq 0$, a menos por casualidad.

Más formalmente, dado que la primera derivada parcial es:

$$\frac{\partial}{\partial \beta_0} = -2 \sum ^n _{i=1} (y_i - \hat \beta_0 - \hat \beta_1 x_1) =0$$

Pero el término en la suma también son los residuos, de modo que:

$$\sum ^n _{i=1} (y_i - \hat \beta_0 - \hat \beta_1 x_1) = \sum^n _{i=1} \hat u_i= 0$$

EDIT: También hay que tener en cuenta que este hecho se sigue inmediatamente al incluir la intercepción. La imparcialidad, la consistencia, la homocedasticidad, la normalidad o cualquier otra cosa que se esté dispuesto a asumir no juegan ningún papel.