Matrices enteros positivos que satisfacen $A^3 + B^3 = C^3$

Question

En la 3ª edición del libro "El álgebra lineal que un estudiante de posgrado debe saber" de Jonathan S. Golan, encontramos el siguiente ejercicio (número 475) en el capítulo 9:

"Encuentra infinitos triples $(A, B, C$) de matrices no nulas en $M_{3×3}(\mathbb{Q})$, cuyas entradas son enteros no negativos, que satisfacen la condición $A^3 + B^3 = C^3.$"

Ahora bien, si entendemos que "enteros no negativos" incluye el $0$, entonces fácilmente podemos tomar $A$, $B$ y $C$ como matrices diagonales de la siguiente manera:

$$ A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Sin embargo, si interpretamos el término "no negativo" como "estrictamente positivo" (es decir, una matriz positiva está definida en el sentido dado en la entrada: https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_no_negativa), la pregunta se vuelve más difícil... Sospecho que la ecuación nunca se cumple, no solo en el caso de $n=3$, sino para todos los enteros positivos $n$. Es decir, no podemos encontrar matrices positivas $A,B,C$ en $M_{n×n}(\mathbb{Q})$ tal que $A^k + B^k = C^k.$ donde $k>2$ es un entero." Conjeturo esto porque varios intentos de construcción para encontrar soluciones fracasaron y me imagino que una forma de demostrar que es imposible sería por contradicción... es decir, demostrar que cualquier triplete válido implicaría una solución racional/entera a la ecuación entera $a^k + b^k = c^k$ (donde $a,b,c \in \mathbb{Q}$) lo cual no puede existir según el último teorema de Fermat. Sin embargo, aún no he encontrado un truco prometedor y me pregunto si la conjetura, de ser cierta, puede ser demostrada tan fácilmente, ya sea por contradicción u otros medios...

Answer 1

Lleva $$ A = B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix} $$ Entonces se puede comprobar que $$ A^3 + B^3 = C^3 = \begin{pmatrix} 38 & 30 & 24 \\ 48 & 38 & 30 \\ 60 & 48 & 38 \\ \end{pmatrix} $$ Para construir una familia infinita, note que simplemente puede tomar cualquier número positivo $n\in \mathbb{N}$, y multiplicando $A, B, C$ por $n$ obtiene matrices positivas que siguen cumpliendo la ecuación.

P.D. Encontré este ejemplo utilizando un algoritmo de fuerza bruta simple en Python.

import numpy as np
from itertools import product
cubos = []
argcubos = []
for x in product(range(1,3), repeat=9):
    A = np.array(x).reshape(3,3)
    argcubos.append(A)
    cubos.append(A@A@A)
cubos = np.stack(cubos)
def contiene(X):
    return np.any(np.all(X == cubos, axis=(1,2)))
def índice(X):
    return np.all(X == cubos, axis=(1,2)).argmax()
encontrado = False
for i, A in enumerate(cubos):
    if encontrado:
        break
    for j, B in enumerate(cubos):
        if encontrado:
            break
        C = A + B
        if contiene(C):
            print(i, j, índice(C))
            print(argcubos[i])
            print(argcubos[j])
            print(argcubos[índice(C)])
            encontrado = True

Answer 2

Sea $x$ una constante. Sea $Y$ la matriz compañera del polinomio $y^3-x$: $$Y=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ x & 0 & 0 \end{pmatrix}\text{.}$$

Sea $Z$ la adjunta de $Y-y\,\mathrm{I}$:

$$Z=\mathrm{adj}\,(Y - y\,\mathrm{I}) = \begin{pmatrix} y^2 & y & 1 \\ x & y^2 & y \\ xy & x & y^2 \end{pmatrix}\text{.}$$

Supongamos además que $x$ sea la suma de cubos

$$x=a^3+b^3\text{.}$$

Sea $A=aZ$, $B=bZ$, $C=yZ + \mathrm{I}\det(Y-y\,\mathrm{I})$:

$$\begin{align} A&= a\begin{pmatrix} y^2 & y & 1 \\ x & y^2 & y \\ xy & x & y^2 \end{pmatrix}\\ B &= b\begin{pmatrix} y^2 & y & 1 \\ x & y^2 & y \\ xy & x & y^2 \end{pmatrix}\\ C&=\begin{pmatrix} x & y^2 & y \\ xy & x & y^2 \\ xy^2 & xy & x \end{pmatrix}\end{align}\text{.}$$ Entonces $$C^3 = A^3 + B^3$$ con todos los elementos de la matriz como enteros positivos si $a$, $b$ y $y$ lo son. Esta última igualdad se cumple finalmente debido a la igualdad de Cayley-Hamilton $Y^3 = x \,\mathrm{I}$ implicando $$(y\,\mathrm{adj}(Y-y\mathrm{I}) + \mathrm{I}\,\det(Y-y\mathrm{I}))^3 = x\,\mathrm{adj}(Y-y\mathrm{I})^3 \text{.}$$ Está motivado por comentarios sobre extensiones cúbicas cíclicas en una respuesta a una pregunta relacionada, así como evidencia numérica en otra respuesta a esta pregunta.

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Adición:

Sea $Y$ definida como la matriz compañera de dimensión-$n$ para el polinomio $y^n-x$, con $Z$ y $C$ definidas de la misma manera que arriba. Entonces se puede demostrar, mutatis mutandis, que $Z$ y $C$ tienen elementos que son monomios mónicos en $x$ y $y$ y $C^n=xZ^n$, de modo que las soluciones positivas de $x=a^n + b^n$ se elevan a soluciones positivas de matrices $n\times n$ de $C^n = A^n + B^n$.