Convergencia de series infinitas multidimensionales

Question

Estoy tratando de analizar la convergencia de sumas infinitas multidimensionales como las de la siguiente forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{1+\alpha\exp (\beta n) \exp (\gamma m)}$$

donde $\alpha,\beta,\gamma\in(0,\infty)$ .

Sin embargo, me estoy dando cuenta rápidamente de que no tengo experiencia en el análisis de sumas como ésta. Me doy cuenta de que porque $\mathbb{N}^2$ es contable, en principio podría reescribir esta suma como una relacionada:

$\sum_{n=0}^{\infty} f(n)$

donde $f(n)$ podría incluso garantizarse la disminución monótona. Sin embargo, he tenido problemas para llegar a alguna parte con esto.

¿Existe algún método bien establecido para atacar la convergencia de sumas multidimensionales como ésta? Si es así, agradecería mucho que me indicaran la dirección correcta.

Answer 1

La cuestión de absoluto convergencia se puede responder estudiando la rapidez con la que la función decae a medida que $(n, m) \in \mathbb{N}_{\ge 0}^2$ se aleja del origen. Por ejemplo, dejemos que $A_k = \{ (n, m) : n + m = k \}$ . Entonces podemos escribir la suma como

$$\sum_{k \ge 0} \sum_{(n, m) \in A_k} \frac{1}{1 + \alpha \exp (\beta n) \exp (\gamma m)}.$$

La suma interna es una suma sobre $k + 1$ términos, cada uno de los cuales está delimitado por $\frac{1}{1 + \alpha \exp (\text{min}(\beta, \gamma) k)}$ por lo que la suma total está limitada por

$$\sum_{k \ge 0} \frac{C_1 k}{\exp (C_2 k)}$$

para algunas constantes $C_1, C_2$ y esto obviamente converge.

La idea básica es reducir la cuestión a una pregunta unidimensional de forma natural. Está estrechamente relacionada, por ejemplo, con la determinación de si una integral multidimensional converge absolutamente acotando su integral sobre esferas cada vez más grandes.

La cuestión de condicional La convergencia es mucho más sutil, ya que depende en gran medida del orden en que se sumen los términos (por ejemplo, en general no se pueden intercambiar las sumas internas y externas), y a diferencia del caso unidimensional no hay un orden privilegiado.

Answer 2

Si sólo quieres saber si esto converge o no, la respuesta es que converge ya que $\alpha>0$ implica $$\frac1{1 + \alpha \exp(\beta n) \exp(\gamma m)} < \frac1{\alpha \exp(\beta n) \exp(\gamma m)}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac1{1 + \alpha \exp(\beta n) \exp(\gamma m)} < \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac1{\alpha} \exp(-\beta n) \exp(-\gamma m)$$

Es una serie geométrica y como $\beta,\gamma > 0$ la serie converge y tenemos $$\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac1{1 + \alpha \exp(\beta n) \exp(\gamma m)} < \frac1{\alpha} \frac1{1-\exp(-\beta)} \frac1{1 - \exp(-\gamma)}$$

Por lo tanto, la serie converge.