Convergencia de $\sum \tan^{-1}(\frac 1n)$ mediante el test de comparación

Question

Mi amigo me mostró un problema ayer que no pude resolver. Se supone que debe decidir si $$\sum_{n=2}^\infty \tan^{-1}\left(\frac 1n\right)$$ converge o diverge utilizando la prueba de comparación. Lo primero que se me ocurrió fue intentar compararlo con uno de sus polinomios de Taylor, pero él me dice que aún no ha llegado a las expansiones de Taylor. Así que no puedo encontrar nada con qué comparar esto.

Answer 1

Puedes resolver este problema haciendo una comparación de límite con $\frac{1}{n}$ ya que sabemos que $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n}}$ diverge por el test de la P.

Así que $\sum_{n=2}^\infty{\tan^{-1}(\frac{1}{n})}$ divergerá si $$ \lim_{n \to \infty}{\tan^{-1}(\frac{1}{n}) \over \frac{1}{n}} \not = 0 \; \text{o}\; \pm \infty. $$ Observa que esto satisface L'Hopital, tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Entonces podemos derivar el numerador y el denominador para ver: $$ \lim_{n \to \infty}{\tan^{-1}(\frac{1}{n}) \over \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty}{\left(\frac{1}{1 + \left(\frac{1}{n}\right)^2} \right) \cdot \frac{-1}{n^2} \over \frac{-1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{1 + \left(\frac{1}{n}\right)^2}} = 1. $$ Como el límite es igual a uno, sabemos por el test de comparación que $\sum_{n=2}^\infty{\tan^{-1}(\frac{1}{n})}$ diverge.

Editar: Para problemas similares a este, el mejor lugar para comenzar es intentar compararlo con la función dentro de la función trigonométrica, la razón principal es que al usar L'Hopital (si es apropiado) la derivada del interior (por la regla de la cadena) se cancelará con la derivada en el denominador como se muestra arriba.

Answer 2

Reclamo: $\tan^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)\geq\frac{1}{2n}$ para $n$ suficientemente grande.

Esto es equivalente a $\frac{1}{n}\geq\tan\left(\frac{1}{2n}\right)$. Observa que $\tan\left(\frac{1}{2n}\right)=\frac{\sin\left(\frac{1}{2n}\right)}{\cos\left(\frac{1}{2n}\right)}\leq \frac{1}{2n}\cdot\frac{1}{\cos\left(\frac{1}{2n}\right)}$. Para $n$ suficientemente grande, $2\cos\left(\frac{1}{2n}\right)>1$, así que $\tan\left(\frac{1}{2n}\right)$ es a lo sumo $\frac{1}{n}$.

Luego, puedes hacer una comparación directa con la mitad de la serie armónica.

Answer 3

Por MVT

$$\arctan(\frac 1n)-\arctan(0)=\frac 1n \frac{1}{1+c^2}>\frac 1n\frac{1}{1+1}$$ ya que $0