Organización de objetos, 5 objetos en 3 contenedores

Question

Si cinco objetos diferentes se disponen en tres contenedores, ¿cuál es el número total de formas de organizar los objetos si:

1. Se permite el contenedor vacío: Habrá $3*3*3*3*3 = 243$ formas

2. El contenedor 1 tiene al menos un objeto: (formas totales - contenedor 1 vacío) = $243 - 2*2*2*2*2 = 211$ formas

3. Cada contenedor tiene al menos un objeto: .. Necesito ayuda con esto

¿Qué pasa si los cinco objetos son idénticos?

Answer 1

Para las bolas distinguibles, usamos Inclusión/Exclusión. Llamamos a una distribución de bolas mala si al menos un contenedor está vacío.

Como calculaste, hay $2^5$ arreglos malos donde el Contenedor 1 está vacío, y el mismo número donde el Contenedor 2 está vacío, y donde el Contenedor 3 está vacío.

Si encontramos la suma $2^5+2^5+2^5$, habremos contado dos veces los arreglos malos donde el Contenedor 1 y 2 están vacíos. También habremos contado dos veces los arreglos malos donde el Contenedor 1 y 3 están vacíos, también donde el Contenedor 2 y 3 están vacíos. Así que el número de arreglos malos es $2^5+2^5+2^5-3$.

Si las bolas son idénticas, tenemos un problema completamente diferente, que se resuelve en general utilizando el método de Estrellas y Barras (por favor ver Wikipedia).

Observación: Los números aquí son muy pequeños, por lo que las técnicas que usamos en la respuesta quizás son exageradas. Por ejemplo, para bolas indistinguibles, podemos hacer una lista explícita: $(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2)$.

Para las bolas distinguibles, podemos dividir en los $6$ casos mencionados en el párrafo anterior, y hacer un conteo de cada uno, aprovechando la simetría para acortar el cálculo. Esto es más trabajo que el procedimiento de Inclusión/Exclusión que usamos en la respuesta pero tiene una sensación más concreta. Probablemente se espera que uses Inclusión/Exclusión, ya que la Parte 2 lo sugiere.

Answer 2

Dos cosas que debes considerar:

1. Cuántas combinaciones elegir los 3 fijos de 5.

2. Cuántas combinaciones colocar los 2 objetos restantes.

El primero se da por "5 ncr 3" que es igual a 5*4*3*2*1/(3*2*1*2*1) = 10.

Así que (5 ncr 3)*3*3 = 90