Encontrar un grado y un campo de división para $x^4-2$ sobre $\mathbb{Q}(i)$

Question

Deja $K = \mathbb{Q}(i)$ y deja $f = x^4-2$. Encuentra el campo de descomposición, su grado y la base.

Mi solución

Primero encuentro las raíces del polinomio $x_{1,2}=\pm\sqrt[4]{2},\hspace{2mm}x_{3,4}=\pm i \sqrt[4]{2}$ y noto que el polinomio $f=x^4-2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(i)$ ya que ninguna de las raíces anteriores está en $K=\mathbb{Q}(i)$ por lo tanto $x^4-2=min pol_{\mathbb{Q}(i)}\sqrt[4]{2}$

¿Puedo deducir de lo anterior que

$[\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}(i)]=4$

¿Cuál será la base de $\mathbb{Q}(i)$ para $\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{2})$?

En mi libro la respuesta es:

-el grado es 4

-base:$\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}$ para $\alpha=\sqrt[4]{2}$

Hay algo aquí que realmente no entiendo. Por favor, explique qué está mal en mi solución.

Answer 1

Primero, el hecho de que las raíces de una cúartica no estén en un campo no es suficiente para mostrar que el polinomio es irreducible. Por ejemplo, $(x^2+1)^2$ es reducible sobre $\mathbb{R}$ pero no tiene raíces en $\mathbb{R}$. Otro detalle es que tienes que mostrar que realmente es un campo de descomposición (lo cual es bastante claro). Mira el lema de la torre para entender por qué la base dada es realmente una base.

Answer 2

Tu solución es verdadera,

nota que si estás extendiendo tu campo agregando $a$, entonces también agregas todos los poderes de $a. Pero no todos los poderes de $a son linealmente independientes. Por lo tanto, solo toma los que son linealmente independientes como una base.

en tu caso, $a^k$ para $4\leq k$ puede ser escrito como combinación lineal de $1, a^1, a^2, a^3. De hecho, esperamos que esto suceda ya que $Q(i,2^{1/4}):Q(i)]=4$ por lo tanto, es un espacio vectorial de dimensión 4 sobre $Q(i)$.

O equivalentemente, si sabes que el grado del polinomio minimal de $a$ sobre $F$ es $n$, entonces $F(a)$ tiene una base sobre $F$ con ${ 1,α,α^2,...α^{n-1} }$.