Mostrar a mano : $ e^{e^2} > 1000 \phi $

Question

Problema:

Mostrar a mano sin ninguna asistencia de computadora: $$e^{e^2}>1000\phi,$$ donde $\phi$ denota el ratio áureo $\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618034$.

Me encuentro con este límite mostrando: $$\lim_{x\to 0}x!^{\frac{x!!^{\frac{2}{x!!-1}}}{x!-1}}=e^{e^2}.$$ No puedo mostrar esto sin saber algunos decimales y si es así usando series de potencias o fracciones continuas.

Parece desafiante y tal vez se necesite un cálculo astuto.

Si no hay restricción en el método, ¿cómo mostrarlo con lápiz y papel?

Algunos enfoques:

Usando la función gamma incompleta y fracciones continuas tenemos: $$\int_{e}^{\infty}e^{-e^{-193/139}x^{193/139+2}}dx=\frac{139}{471}\cdot e\cdot\operatorname{Ei}_{332/471}(e^2)>e^{-e^2},$$ donde $\operatorname{Ei}$ denota la integral exponencial.

Ahora necesitamos encontrar una integral para el ratio áureo $\phi$.

Siguiendo mi comentario tenemos:

$$e^{-e^2}<\int_{e}^{\infty}e^{-e^{-193/139}x^{193/139+2}}dx<\int_{e}^{\infty}\frac{e-2}{1000\phi (x-2)^2}dx$$

Donde la función en la integral sigue el orden actual para $x\ge e$. Como se dijo antes, usar fracciones continuas de la función gamma incompleta. Para finalizar, tomar el logaritmo.

Answer 1

Aquí hay un cálculo muy tedioso utilizando el cuadrado repetido. Usé una computadora para automatizarlo y componerlo, pero en principio podría realizarse a mano.

Primero:

$$e^z = \left(e^{\frac{z}{2^{m}}}\right)^{2^{m}} $$ y (para $y > 0$) $$e^y > 1 + y + \frac{y^2}{2}$$ así trabajando con 24 bits después de la coma (truncando hacia cero):

$$\begin{aligned} e^2 &> \left(1 + \frac{2}{2^{9}} + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{2^{9}}\right)^2\right)^{2^{9}} \\ &= \left(1.000000010000000010000000_2\right)^{2^{9}} \\ &\ge \left(1.000000100000001000000001_2\right)^{2^{8}} \\ &\ge \left(1.000001000000100000001010_2\right)^{2^{7}} \\ &\ge \left(1.000010000010000001010100_2\right)^{2^{6}} \\ &\ge \left(1.000100001000001010110001_2\right)^{2^{5}} \\ &\ge \left(1.001000100001010111111010_2\right)^{2^{4}} \\ &\ge \left(1.010010001011010111001100_2\right)^{2^{3}} \\ &\ge \left(1.101001100001001001011011_2\right)^{2^{2}} \\ &\ge \left(10.101101111110000010000101_2\right)^{2^{1}} \\ &\ge \left(111.011000111001010011010111_2\right)^{2^{0}} \\ &= x \\ \end{aligned}$$

Ahora trabajando con 32 bits después de la coma:

$$\begin{aligned} e^{e^2} &> e^x \\ &> \left(1 + \frac{x}{2^{12}} + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2^{12}}\right)^2\right)^{2^{12}} \\ &> \left(1.00000000011101100101010010011001_2\right)^{2^{12}} \\ &\ge \left(1.00000000111011001101111111100100_2\right)^{2^{11}} \\ &\ge \left(1.00000001110110101001101011110101_2\right)^{2^{10}} \\ &\ge \left(1.00000011101110001010010111001100_2\right)^{2^{9}} \\ &\ge \left(1.00000111011111110010010010101001_2\right)^{2^{8}} \\ &\ge \left(1.00001111001101100111110001111000_2\right)^{2^{7}} \\ &\ge \left(1.00011111010101000110011100011110_2\right)^{2^{6}} \\ &\ge \left(1.01000010011111100101101100001001_2\right)^{2^{5}} \\ &\ge \left(1.10010110010000100001101101100000_2\right)^{2^{4}} \\ &\ge \left(10.10000100101101011011111111100110_2\right)^{2^{3}} \\ &\ge \left(110.01010111101000101110111010000110_2\right)^{2^{2}} \\ &\ge \left(101000.00111001101000110101010000011001_2\right)^{2^{1}} \\ &\ge \left(11001010010.00010000000001000110101101110111_2\right)^{2^{0}} \\ &> 11001010010.0001_2 \\ &= 1618 + \frac{1}{16} \end{aligned}$$

Usando las fracciones continuas como límites para $\phi$, y la división larga, obtenemos

$$\begin{aligned} 1000 \phi &< 1000 \times \frac{233}{144} \\&= \frac{233000}{144} \\&= 1618 + \frac{1}{18} \end{aligned}$$

Es decir,

$$e^{e^2} > 1618 + \frac{1}{16} > 1618 + \frac{1}{18} > 1000 \phi$$

Answer 2

$\color{brown}{\textbf{¿Qué estamos demostrando?}}$

Realmente, nuestro objetivo es demostrar la desigualdad $$\ln(\ln(500\cdot(\sqrt5+1)))<2.$$

Podemos obtener los niveles intermedios de las tablas:

$$e^3\approx 20.085\,536\,923\,19,$$ $$e^6\approx 403.428\,793\, 432\,7,$$ $$500\cdot(\sqrt5+1)\approx 1618.033\,988\,75,$$ $$\ln(500(\sqrt5+1))\approx 7.388\,967\,104\,042,$$

Pero esto solo parece ser un pase de magia, que solo distrae la atención de la audiencia del proceso principal.