Sea $r>0$. Quiero usar la Forma de Lagrange del Resto (como se indica, por ejemplo, aquí) para demostrar que la serie de Taylor de $\log(x)$ centrada en $r$ converge a $\log$ en $(\frac{r}{2}, \frac{3r}{2})$.
He calculado la serie de Taylor para obtener $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n-1)!}{(n!)r^n}(x-r)^n$ pero estoy perdido en cómo resolver este problema. Agradecería algo de ayuda.
El resto de Lagrange es
$$R_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-r)^{n+1} = \frac{(-1)^{n}n!}{(n+1)!\xi^{n+1}}(x-r)^{n+1},$$
donde $x, \xi \in (r/2, 3r/2).$
Por lo tanto,
$$\left|R_n(x) \right|= \frac{1}{n+1}\frac{|x-r|^{n+1}}{|\xi|^{n+1}} \leqslant \frac{1}{n+1}\frac{|r/2|^{n+1}}{|r/2|^{n+1}} = \frac{1}{n+1}.$$
Así, la serie de Taylor converge ya que $R_n(x) \to 0$ cuando $n \to \infty$.
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