Encuentra una base para $w=\{f\in P_4 : f(1)=f(3)=0\}$.

Question

Así que soy un novato en álgebra lineal y no sé cómo encontrar una base en un subespacio. la pregunta es encontrar una base para $w=\{f\in P_4 : f(1)=f(3)=0\}$ donde $P_4$ es un polinomio con el máximo poder de 4, en otras palabras es: $a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4$.

Por favor, guíame a través de los pasos para encontrar una base y demostrar que la base encontrada es para $P_4$.

Answer 1

Si $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$, entonces $$p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\text{, y }p(3)=a_0+3a_1+9a_2+27a_3+81a_4.$$ Pero \begin{multline}\left\{\begin{array}{l}a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0\\a_0+3a_1+9a_2+27a_3+81a_4=0\end{array}\right.\iff\\\iff a_3=\frac1{27}(-40a_0-39a_1-36a_2)\text{ y }a_4=\frac1{27}(13a_0+12a_1+9a_2).\end{multline} Entonces, obtendrás una base si consideras estos $3$ polinomios: el que tiene $a_0=1$, $a_1=0$ y $a_2=0$, el que tiene $a_0=0$, $a_1=1$ y $a_2=0$, y el que tiene $a_0=0$, $a_1=0$ y $a_2=1$. Por ejemplo, el primero de estos será $$1-\frac{40}{27}x^3+\frac{13}{27}x^4.$$