Pregunta de geometría trivial sobre un ángulo entre dos bloques paralelos (CG)

Question

Trivial pero no para mí.
Mira la figura abajo. Me gustaría dibujar una especie de "N" donde el grosor de los 3 segmentos es variable. Desde "r" la proporción del grosor sobre el lado del cuadrado, ¿cómo encontrar el valor de "", el ángulo del segmento inclinado?

(Edit: cada segmento tiene un grosor de "r")

Answer 1

Ampliando el comentario de @peterwhy, uno necesita resolver la ecuación

$$\frac{r}{\sin\alpha}+\frac{1-2r}{\tan\alpha}=1$$

Al reorganizar obtenemos

$$\sin\alpha-(1-2r)\cos\alpha=r\iff \sin(\alpha-\delta)=\frac{r}{1+(1-2r)^2}$$

donde $\sin\delta:=(1-2r)/\sqrt{1+(1-2r)^2}$. Ahora esto se puede resolver bastante fácilmente para obtener la solución única

$$\alpha(r)=\sin^{-1}\frac{r}{\sqrt{1+(1-2r)^2}}+\sin^{-1}\frac{1-2r}{\sqrt{1+(1-2r)^2}}$$

Encontramos que

$$\alpha(1/5)=40.84^\circ~,~ \alpha(2/5)=34.40^\circ$$

y también $\alpha(0)=\pi/4$ lo cual funciona como una comprobación de cordura.

Answer 2

Desde tu figura, el ancho del rectángulo blanco estrecho central $=(1-2r) $

Las longitudes de los segmentos de línea roja y verde cuando se suman es 1.

$$r/\sin \alpha + ( 1-2r) \tan \alpha =1 $$

Si $ t= \tan(\alpha/2) $ tenemos

$$r\frac{1+t^2}{2t}+(1-2r) \frac{1-t^2}{2t} =1 $$ se simplifica a una ecuación cuadrática

$$ t^2( 3r-1) -2t +(1-r)=0 $$

la cual puede resolverse como

$$ \tan ( \alpha/2)=\frac {\sqrt{3r^2-4r+2}-1}{(1-3r)}$$

con el signo correcto antes de la raíz cuadrada. Cuando $r=0$ debería verificar $ \alpha /2=22.5^{\circ} \text{ de } t^2+2t -1 =0, $

lo cual verifica correctamente.