¿Por qué $n^0 = 1$ ?

Question

¿Por qué es que $n^0 = 1$ ?
Entiendo cómo $n^2 = n*n$ y cómo $n^1 = n$ pero no puedo entender por qué $n^0 = 1$ .

Answer 1

SUGERENCIA:

Uso de las leyes de los exponentes (1) , (2)

$$n^{a+b}=n^a\cdot n^b$$

Configuración $a=0,$ $$n^b=n^b\cdot n^0$$

Compruebe cuando $n^b$ puede cancelarse

Answer 2

La exponenciación satisface las leyes de los exponentes: $a^{b+c} = a^ba^c$ . Si queremos que esta ley se siga cumpliendo cuando ampliemos al caso $b=0$ necesitamos tener $a^{0+c} = a^0a^c$ y por lo tanto necesitamos tener $a^0 = 1$ .

Answer 3

\begin {align*} n^m &= n \times \ldots \times n\; ( \textrm {para}; m \in \mathbb {Z}_{>0}) \\ & \vdots\\ n^2 &= n \times n \\ n^1 &= n \\ n^0 &= 1 \\ n^{-1} &= \frac {1}{n} \\ n^{-2} &= \frac {1}{n \times n} \\ & \vdots\end {align*}

Pasar de $n^{m}$ a $n^{m+1}$ se multiplica por $n$ y pasar de $n^{m}$ a $n^{m-1}$ , se divide por $n$ .

Answer 4

Cuando lo hagas $m\cdot n$ , se parte de $0$ y seguir añadiendo $n$ tantas veces como $m$ dice: así que si $m=0$ Sólo tienes que $0$ porque no tienes nada más que hacer; si $m=1$ , se obtiene $0+n$ ; si $m=2$ usted lo hace $0+n+n$ . Y así sucesivamente.

La exponenciación es exactamente lo mismo, pero con la multiplicación sustituyendo a la suma y $1$ sustituyendo a $0$ : para hacer $n^m$ se empieza por $1$ y sigue multiplicándose.

Si $m=0$ tienes $1$ y no hacer nada más; si $m=1$ tienes $1\cdot n$ ; si $m=2$ tienes $1\cdot n\cdot n$ . Y así sucesivamente.

Esto se suele formalizar en una definición recursiva: $$ 0n=0,\qquad (m+1)n = mn+n $$ para la multiplicación, que se convierte en $$ n^0=1,\qquad n^{m+1}=n^m\cdot n. $$ Así, por ejemplo, $$ n^3=n^2\cdot n=(n^1\cdot n)\cdot n=((n^0\cdot n)\cdot n)\cdot n =((1\cdot n)\cdot n)\cdot n $$ y los paréntesis pueden omitirse.

Por supuesto, esto se ha reconocido mucho tiempo después de que se introdujera la exponenciación como una forma abreviada de "multiplicación repetida". La ley de los exponentes $$ n^{a+b}=n^a\cdot n^b $$ es (casi) obvio cuando $a,b>1$ pero se puede extender a los exponentes $0$ y $1$ para que siga siendo válida definiendo $n^1=n$ y $n^0=1$ .

Tenga en cuenta que en ninguna parte se supone que $n>0$ . Puede ser cualquier "número", siempre que exista un elemento neutro forma de multiplicación y la multiplicación sea asociativa; de hecho, esto puede hacerse en cualquier semigrupo con identidad (también llamado monoide).

La simetría con la multiplicación podría verse mejor si escribimos $^mn$ pero, por desgracia, la gente empezó a escribirlo al revés.

Answer 5

Se puede pensar en la regla de que $\frac{x}{x}=1$ para cualquier número no nulo $x$ .

Entonces, utilizando por ejemplo $n^2$ obtenemos:

$$1=\frac{n^2}{n^2}=n^{2-2}=n^0$$

Por lo tanto, tiene sentido tener $n^0=1$ .