¿Cuáles son los puntos con la condición $|z + i - 1| < 2$ en el plano?

Question

¿Qué se puede concluir con la condición $$ |z + i - 1| < 2 $$ en el plano?

si escribo $|x + i y +i -1| < 2$ se concluye

$$ (x -1)^2+(y+i)^2 < 2 $$ lo cual es un círculo, ¿es correcto?

Answer 1

Si escribe $\vert x + iy + i - 1\vert < 2$, primero calculemos el módulo, obtenemos $$\vert x + iy + i - 1\vert = \vert (x - 1)+ i(y+1) \vert$$ Es decir, $$\vert x + iy + i - 1\vert = \sqrt{(x - 1)^2 + (y+1)^2}$$ Entonces obtenemos $$(x - 1)^2 + (y+1)^2 < 4$$. ¿No es esto un disco de centro $(1,-1)$ y radio $2$ ?

Answer 2

$\mid z-z_0\mid\lt r$ es el disco abierto de radio $r$ centrado en $z_0$.

Entonces tenemos el disco abierto de radio $2$ centrado en $1-i$.

Recuerda que si $z=x+iy$, entonces $\mid z\mid=\sqrt{x^2+y^2}$.

Hay un par de errores en tu cálculo: $(x-1)^2+(y+\color{red}i)^2\lt\color{red}2$.

Deberías tener: $(x-1)^2+(y+\color{blue}1)^2\lt\color{blue}{2^2}$

Esto se debe a que $z-1+i=(x-1)+(y+1)i$...

Además, si reemplazas $\lt$ por $=$ obtienes un círculo.